IV. — Notation dk Jacobi
238. Expression de Je:) en fonction du module A. — Nous avons indiqué (n" 97) la relation qui lie la fonction pu aux périodes 2w et 2co' à la fonction snu aux périodes aK et 2?K'. Nous avons vu que le rapport des périodes est le même
et, en désij^naiit par A une constante auxiliaire, nous avons trouvé pour les racines c'i, eo, e^ les valeurs
3 ), 2 ei = •>. — A-2, 3 ).2 (-2 = 2 A 2 — i ,
on en déduit les différences des racines deux à deux et l'on en conclut en multipliant ces trois différences
)/'(e,-eo)(e.-e3)(e3-e,)--A2(i-A-2j.
On sait que, dans un poljnome
dont les racines sont e,, Co, 63 le discriminant
\ /t3 /^— or''-
est donné par la formule
\ = i6(ei—eîy-{e.2 — e3y-(e3—ei)-.
x6/cHi-A:2)2
On a donc
D'autre part, le produit des racines étant ^ on a
ffs
L'expression de J en fonction du module s'obtient alors facile-
im": ni ODES kqu i v ai. kntes. 385
ment. Ou a en cHci
donc
^'^ '-'= .yk^i.-k^)^
D'après celle relation, quand J csl donné, A- a six valeurs. Mais on vérifie iniinédialeinenl que, si
k'- = IX
est une racine de réc|ualion (8j eu A-, les autres racines sonl
I pi — • ]■>■ I
-, i — IJ-, ■ , --!—, . .
[J. p. [J. — Il — [JL
Il suffil de conslater que le deuxième membre ne change pas quand on remplace /- par l'une de ces six quantiiés.
Le carré du module /.- esl une fonction du rapport des périodes T. Quand on renij)lace t par -^ . , a, b, c, cl étant quatre
entiers tels que ad — bc -^ \ , J ne change pas; on en conclut
que A- ou bien ne change pas, ou bien prend l'une des nouvelles
valeurs
±, i/,2 '^-JL, Jil^, __i
Pour (pie /.- reste invariable il faut assujettir les entiers a, b, c, d k des conditions supplémentaires dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer. Les substitutions spéciales dn groupe modulaire qui n'altèrent pas A- forment ce que l'on appelle un sous-groupe.
Nous indiquerons, en terminant, cpiel est, pour la fonction H de Jacobi, l'effet du remplacement des deux périodes, qui ont servi à la construire, par deux périodes équivalentes.
239. Formes en nombre infini des fonctions de Jacobi. Fonction H(«). — Considérons la fonction
li(u, q)— 1 y q sin '-' i y/^ sin
2 v/<7-' sin -
•Ihi ^ ■lU)
ol on même temps la fonclion H(«, Q) dont le développement se déduit du précédent en y remplaçant aw et 2bi' par les périodes équivalentes mo, et aiu, , Q étant ce que devient g par suite de cette substitution
Nous allons démontrer que les fonctions IT(//, Q) et H(;/, ^) sont identiques, à un facteur exponentiel près de la forme A e^'"', a désii^nant une constante. Cela résulte de l'égalité
a'(u\(.<)i, Lo\)= a'(u\ 10, to' ) ;
car, si l'on v remplace chaque fonction 3* par la fonction H correspondante (n° 21), on obtient cette autre égalité
pie'''"'-U(u, Q)= pe'"''-H{u, q),
dans laquelle p, p,, h et A, sont des constantes convenablement choisies. On en déduit immédiatement
A et a désignant des constantes. Nous allons déterminer a.
Revenons aux notations habituelles des périodes pour les fonctions de Jacobi, en posant
co
to' — iK',
lo'i rr: jL',
avec
\ ih' = aiK' — bK, ( L = ciK' -r- rfK,
a, b, c, d étant des entiers tels que (lo) ad — bc = i.
Ces quatre entiers ne peuvent pas être pairs tous les quatre ni impairs tous les quatre. Si b est pair, a et d sont impairs; si a est pair, ^ et c sont impairs.
PICRIODKS KQLI VA LENTES. 'SSj
Pour clrleriiiliicr y. remarquons qiuî l'on a
iU(u-+- iL, Q)^ — II(h, Q), Il [H -h xaW -h icils. , g) r- ic '^ U(u,<j),
£ étant égal à + i ou à — i suixanl la parité des entiers d cl c. On a en elfct
U{u-{- -xclK, '/)-(— ly' U(u, g):
cliangeanl, clans les deux membres, // en u -+- ac/K' et se rappelant
la Cornuile (n" 77)
ciTZ .,
U{u-^-2ciK', q ) = {—iye "ÎT""*""^ H{u, q), on a la seconde des formules (i i) où
La relation
II(«, Q)= Ae=""n(M, q)
donne alors, en changeant u en ?/ + 2 L dans le premier membre et n en la (juantité ccpiivalente a -+- 2 dK -+- o,ci¥J dans le second,
U(u-h ïL, Q)= \e^"' + ''i-^'- H ( a -+- idK — iciK' , q).
Divisant membieà nieml)re ces deux dernières relations en tenant compte des équations (11) nous tiouverons
(12) — i = te '^
(^ette relation ayant lieu quel que soit «, les termes en u doivent disparaître dans l'exponentielle, d'où la valeur de a
Comme vérification, remplaçons a j)ar sa valeur dans la formule (12) et réduisons en remplaçant L par dK -+- ciK\ nous obtenons
— I = s(— ly'c
ou, d'après la valeur de s,
t I \frf+l)(cH-l) -^ i
relation évidente, car d et c ne peuvent èlrc pairs Ions deux.
388 CHAPITRE XIll. — PÉRIODES ÉQUIVALENTES.
On a donc, en définitive, Tégalilé fondamentale
U(u, Q)= Ae '^^ U{h, q),
OÙ A est une constante qu'il reste à déterminer. Nous ne nous occuperons pas ici de ce calcul.
On voit que, au point de vue où nous nous plaçons ici, la fonction H de Jacobi se comporte d'une façon moins simple que la fonction a", puisque a" ne change pas quand on remplace les périodes par des périodes équivalentes, tandis que H se reproduit multipliée par une exponentielle.
Cette relation étant obtenue, on en déduit aisément des relations analogues entre les fonctions 0, 6), H, construites d'une part avec K et iKJ, d'autre part avec L et iL'. II suffit dans la formule (i3) de remplacer, dans le premier membre, u par u -+- L, ou u -j- iU, ou u -\-L-\- ih', et dans le second membre, u par les valeurs égales //-^-dK-JrCÏK', ou u-hbK + aiK' ou «H-(Z> + <:/)K+(« + c)iK'. Tenant alors compte des relations du n° 77, on aura les relations demandées. Ces relations prennent des formes difî'érentes suivant les parités des nombres «, b, c, d. Elles permettent d'exprimer le module des nouvelles fonctions elliptiques en fonction de k.
Nous ne les écrirons pas, et nous renverrons le lecteur au Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences, où les calculs sont poussés jusqu'au bout dans une hypotlièse particulière sur les quatre entiers.
