ADDITION Y LA NOTE I

IMPOSSIBILITÉ DUNE FONCTION tMl-OU.MIi liT CONTINUE AVEC TROIS PÉUIODES.

Imai^inons une fonction /(^) d'une variable imaginaire z avec trois périodes a, ^,Y dont les rapports sont imaginaires. Nous allons montrer ou que la fonction est constante, ou que les périodes se réduisent à deux.

Remarquons d'abord que la fonction admet comme périodes toutes les quantités

(i) Ma + NS-f-Py,

AI, \, P étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Construisons ensuite, dans le plan représentatif des imaginaires, le parallélogramme des périodes a et p, GABG, ayant pour sommets les points

Un point quelconque z du plan a, dans ce parallélogramme, un liomo-

3y2 NOTE I.

loiïiie Ç

1 = z-r- ly^-h m'i;

I et m étant des entiers, convenablement choisis.

Fis. i-..

Considérons alors le? «^ points