JY

où n est un entier et leurs homoloirues

-31= Y -I- /] a -f- miP,

/«^ rt

In^'^.

La fonction admet comme périodes toutes les quantités ^1, 29, .... 5,j2 et les différences de ces quantités deux à deux, car ces quantités et leurs différences sont de la forme (i).

Appelons X la longueur de la plus grande diagonale du parallélogramme OABG. Si tous les points

Zi, Z2,

sont distincts, il en est au moins deux z.j et z^, dont la distance est moindre

que En effet, divisons les côtés OA et OB en ( n — i) parties égales

et menons par les points de division des parallèles aux côtés du parallélogramme OABG : nous diviserons ce parallélogramme en (n — i)^ cases

égales entre elles ayant pour grande diagonale ; sur les n^ points (2),

il en est forcément deux, au moins, z.j et z^,, dans une de ces cases. Leur

distance est alors moindre que — ^ — • Analvticiucment le module de z., — Zn ^ n - I ■' ' ^

est moindre que — '- — • La fonction admet donc la période ' /i — 1 *

(X>,i = Zy Z^,

N O T li I . iyS

dont le module est moindre que

Deux cas sont à distinguer :

1° Quelque fjr.md que soit n les points (2) sont toujours distincts. L;i fonction admet alors une période non nulle a),j dont le module peut devenir aussi petit que l'on veut. Elle est constante, car

donne, pour n infini,

•?° Pour une certaine valeur do n, deux des points (2), Sv et z^. coïncident. On a alors

v' — /y a -;- nvj 3 = av -^ /m a — /??„ 3,

relation de la forme

p, q, r étant trois entiers qu'on peut toujours rendre premiers entre eux en divisant (3) par les facteurs communs à p, q, r. Les périodes se réduisent alors à deux.

En effet, appelons s le plus grand commun diviseur de p cl q : on peut déterminer deux entiers />' et q' tels que

(4) Pi' — qp' =^ s-

Posons

a et b sont des périodes de la fonction, car — et — sont entiers. Les équa-

tions (5), résolues par rapport à a et 3, donnent

et la relation (3) devient

(7) sa-4-rY = o,

394 NOTE I

S et r étant des entiers premiers entre eux. On peut choisir deux entiers r' et s' tels que

rs' — sr' = I et en posant

c est une période. On lire de (7) et (8)

a = rc, Y = — •^^i

d'où enfin, d'après (6),

a = g rc — - 6,

Y = — se.

Les trois périodes se réduisent donc aux deux b et c. Cette démonstration est empruntée à Riemann {Œuvres complètes, p. 276).

NOTE II

CONVERGENCE DU PRODUIT DOUBLEMENT INFINI QUI SERT A LA DÉFINITION DE -iu.

Pour tltfinir jU nous avons considéré le produit doublement infini

-w-ï'/ u\ IL + inL \ m ) ^

ni'-i)^'^ --, ^ J=o,zni.±.,^3,:t...,==c,

' w = o exclus,

et nous avons admis que ce produit est convergent. Pour le démontrer, nous établirons la convergence de la série obtenue en prenant les logarithmes des facteurs

Si l'on choisit pour détermination du logarithme de /i 1 celle qui

tend vers zéro quand w devient infini, le terme général peut s'écrire, en développant le logarithme en série :

lû I \ i u \ n-

et l'on voit que le rapport

tend vers i quand w devient infini. D'après cela il nous suffit de considérer

la somme

ou encore de démontrer la proposition suivante : La série

jLd {t. inia -^ 1 ma' y \

\ (m = o, « = o exclus)

est une série converf^ente .

NOTE II

Nous reproduirons une démonstration de ce théorème due à Eisenstein, telle qu'elle est exposée par M. Ilerniitc (Cours de la Faculté des Sciences, 3* édition, p. 21 3).

Soient x et y les coordonnées cartésiennes d'un point, envisageons l'ellipse donnée par l'équation

mod- ('icoa^ -\- 2to'j>')= I

où le premier nicn)brc est le carré du module de iiox -r- 'iM'y, et désignons par A son grand axe. Pour toutes les valeurs de ir et de j' qui représentent un point de la courbe, on a donc

^--^JK-< -^-

ou bien, comme en ce point mod-(-2.(i)x -\- 'iiii' y)= i, x^-+- y- << A- mod-( liiix -î- ito y).

Cette relation étant homogène par rapport aux variables x el y subsiste si l'on y remplace x cl y par \x et \y. X étant une quantité quelconque; elle a donc lieu quelles que soient les valeurs de x et de y. Nous la mettrons sous la forme

mod(ia)a7

Une limite supérieure du module de la somme considérée est donc

et il suffit de démontrer la convergence de cette série

qui est d'une forme plus simple.

A cet effet, partageons le plan en carrés par des parallèles aux axes Oy et Ox dont les abscisses et les ordonnées représentent tous les nombres entiers. Les sommets de ces carrés, l'origine étant mise à part, ont ainsi pour coordonnées tous les nombres entiers et correspondent aux divers termes de la série

Considérons d'abord la suite formée par la somme des termes correspondant aux sommets situés sur la bissectrice O^ de l'angle des coordonnées xOy: pour ces points on a /?i = n: la somme envisagée est donc égale, à un facteur numérique près, à la série simple

elle est par suite convergente.

NOTE II. 397

Prenons mainlcnanl la somme dos lermcs [)iis sur Ox el dans l'angle xO z: il suffira évidemment d'élablir sa convergence pour démontrer notre pro- |)osition.

Soil, jtour abréger l'écriture,

et posons

U/it = (/«) o)t-(/«, i)~ ...-)- (m, m — i),

la série simple à laquelle nous sommes amenés, savoir

Ui -T- Ui -T- U3-^...-~- U,n-^. ..,

est manifestement convergente. En effet, chacun des m termes qui composent u,n est plus petit que le premier (m, 0) qui est égal à — r* On a

donc

Um < — ; • ni-

Ainsi la série ^ «/« a pour limite supérieure \ — ^ dont la valeur est

finie.

La série proposée est donc convergente et a une somme indépendante (le l'ordre de ses termes; comme nous l'avons dit en commençant, on en déduit la convergence du produit doublement infini qui sert à définir CjU.

NOTE m.