SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS 0 EN FACTEURS

Nous avons à la page i>.i, en identifiant l'expression de 61 sous forme «le produit avec l'expression de 61 sous forme de série, obtenu l'identité

\ Pl(i -h iq COSIX -+- q-){i -+- i-cj^ C0S2 5: -i- cj^). . . { =^ 1 -^ iq C051X -h ■îcj'* cos^x -^ . . . .

Nous avons réservé à ce moment la détermination de la constante A. Voici la méthode que M. Bieiiler a donnée pour déterminer A, méthode que nous empruntons à une Note de M. Hermite placée à la fin de la dernière édition de l'Analjse de Serret.

Considérons le produit composé d'un nombre fini de facteurs,

A2) = {l---qz){i-^q^z)...{l-^q-^"-i-)

le développement suivant les puissances positives et négatives de z sera di la forme

/(.-)= Ao- A, (.--i)-. .^A„(.--l^).

Cela étant, l'identité suivante, qui se vérifie immédiatement,

donne entre deux coefficients consécutifs, A/ et A/i, la relation A,(l — qi'i+ii) = A,-i (q'-'-^ — 72^+1 ). Nous en tirons successivement

qHl

l — qta-

NOTE III. 3gi>

et, par conséquent,

(, ^2«+2^(, ^2;,-^;^. . .(I — qi"+i')

Tous les coefficients du développenienl s'oI)licnncnt donc au moyen du premier Ao, dont voici la détermination.

Supposons i= n et remarquons que dans /{s) le terme en z"' ayant pour coefficient ^^i^s-t-.^-î^-i q^ j^ immédiatement \,i=q"^, d'où, par conséquent,

et enfin la valeur chcrciiée que j'écris ainsi

(i — ^î"'-+-2)(i — q"'"^'*). . Ax — q''")

Ao =

Gela étant, faisons croître indéfiniment le nombre n, cette expression nous donne

Ao =

(I — ?-;(! — «z^Ki — ^V)-

et la relation entre A/ et Aq devenant simplement A/= .'^^«7'', on est conduit à l'égalité

~ (l — <jrV)^I — (7^)(l — ^6)-..

Il suffit maintenant de poser z ■= e-'^ pour en conclure

{i -y- iq Ciysix -^ q- )(i -r- 2q^ cosaa? -i- 5'*'). . . i-T- -iq cosix -r- iq* co^^x -^. . .

" (I — fy2)(l — Çr*)(l — gr6)...— •

La valeur de la constante A qui figure dans la formule (i) est donc

\^(l-. q-2)(l — cj')(i — q<^)(l — q»)