Fonctions r,, r^, -,. — Les équations
définissent les trois racines carrées en fonctions uniformes de u. Si Ton donne successivement à la variable u les valeurs
lOi = tO, W.> = W -f- lo' = Oj", tOj = co ,
on obtient les équations
\/ei — ei= —^ — = — — - — JT' s/ e
Cj'
'oj'
tu
jio"
, j") 10 e~"'i'^ jlO / JotO
co
el
'to'
j'to'
S'il»
par lesquelles sont déterminées sans ambiguïté les valeurs des six racines carrées. Dans Ihypothèse que le coefficient de i dans — est positif, on a, entre ces radicaux, les relations
sje^ — €., = — i v/e, — é-a, (3) < v/es— <?! = — iV^i — «3,
s/e^ — É"i = — i /ei — e^.
C) Voyez, pour des formules de ce genre, Hermite, Journal de Crelle, t. 84.
EXERCICES SI II I,E CIIM'ITUE II. 65
Relations entre les carrés des fonctions r", a'i, j'î, 03 — Les relations
donnent, par l'éliminalion de ^u, les formules
<i\u — 3'5ff-(-(e2 — e3)3'2a = o,
(^2— «3) 3'ï t< -4- (Cj— Ci) 3"^ «-+-(<?,— ^2) 3'j « = O.
Dijférentiations des quotients de fonctions 3'. — L'équation
^ u :i u<jU
donne pour les fonctions
Cm Cp.» -j, ( 2 ) — — > , ,
les équations différentielles suivantes
/ d <^u ^\t.i(- a'yju
du (j\ u C). u ■j\ u '
/ Cfj. M a'x «Cm rtf Cx « 3'j;, ?/. 3-,^ u
fi»
du -i^i u ^ Cv « j V " « " C ;<
Exemples de décompositions en éléments simples.
I p' u ^-,. u -iu d , a'i u
— = -7-lor
1 pu — <?X v). « j « (/i/ ° 3" u
(e,j— e^,)p' u a''^),u -i^u d , Cm// ^ — — -r- loi'
2 ( JJ « — ejxXP « — ^v ) C(j. tt ^'v /< t/i< ® Cv //
(o.— e|j.)(ex— ev) rf C>, '/ r/2 ,
p^^ — e\ du j)« rt/<-
i. Soit ç(m) une fonction elliptique du second ordre aux périodes 2o> et 2to'. Si cette fonction admet, dans un parallélogramme des périodes, un
seul pôle double u = a avec la partie principale ; , sa dérivée
(// — ay-
■/(u) admet dans un parallélogramme les trois zéros a = a -i- oj, p = a-f- w', Y = a -f- w -f- M et l'on a
T(â')'' = [''^"^~''°^^Jf?(")~ •^^^J•'^"'^-?^'^J■ A. ET L. 5
if 2 =
66 K XEKCl CES SLR I,E CHAPITRE II.
Ces théorèmes se démontrent soit en exprimant 'v(m) à l'aide de pi/
cp(j/)= Ap(;/ — (7)+ B,
soit en remarquant que
9(2« — zO='f(")> d'où, en différcntiant,
<q'{ia-~ u) = — o'{u);
relation qui montre que ^'(u) s'annule pour u = a, u = ^, u = '(, car elle donne, par exemple, o'(a) = — '-fCa:).
Si cp(«) a, dans un parallélogramme, deux pôles simples a et 6 de résidus A et — A, ç'(«<) admet dans un parallélogramme quatre zéros
«3 = h OJ , U'^ = • -!- CO + O) ,
et l'on a
On le démontrera en établissant la relation
■z{a -r b — u)= o(u) et, par différentiation,
o'(a + 6 — u) = — 'Zf' {u).
5. Démontrer que l'on a, quels que soient les arguments a, b, c, d, la relation
désignée quelquefois sous le nom d'équation à trois ternies. — Elle résulte de l'identité
où 1 on fait
A = pa, B = pb, C=pc, D = pd
et de la formule
a'( u -h i') :f( u — i>) pu — p c = .
0. Démontrer qu'il existe une relation linéaire et homogène entre les
EXCnCICKS SUR I.E CHAPITRE II. 67
l'onclions
:i{u -~- a) -^(u — a), a'{u -i- b) ::'(u ~ b), ■:f{u-\-c)j(u — c). La fonction
V -Un — h) -iixi — h\ -^ O j-iM-f- c\ -fin — c) <j(u-i-a)^{u — a)
est une fonction doublement périodique ayant deux pôles dans un parallélogramme des périodes; on peut déterminer le rapport des constantes I' et Q de façon que le numérateur s'annule pour « = a ; P et Q étant ainsi déterminés, la fonction se réduit à une constante. On retrouve ainsi la relation précédente.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu LORSQUE to EST RÉEL ET co' PUREMENT LMAGLNAIRE. APPLICATIONS.
51. Dans la théorie générale que nous venons d'exposer, les périodes aw et 2to' sont des constantes imaginaires quelconques, assujetties à la seule condition que leur rapport soit imaginaire. Un cas particulier des plus importants, qui se présente fréquemment dans les applications, est le cas où l'une des périodes 2co est réelle et l'autre 2w' purement imaginaire, c'est-à-dire égale au produit de i par un nombre réel. Comme on peut toujours changer le signe des périodes, on peut prendre 2 w positif, alors 2 oj'
étant suppose purement imagmaire, — .— sera positii aussi, car
nous avons fait la convention que, dans le rapport —, le coefficient de i est positif.
C'est ce cas que nous allons examiner en détail, pour faire ensuite quelques applications géométriques et mécaniques. Pour que ce cas se présente, il faut et il suffit que les racines et, eo, C;) soient réelles.
I. — \.VLEURS REELLES DE p U QUAND 10 ET -.- SONT REELS ET POSITIFS.
32. Les invariants ffo et gs sont alors réels. — Si l'on suppose to et A- réels et positifs, les invariants
sont réels. En eff'et, à toute valeur imaginaire de w correspond pour iv une valeur imaginaire conjuguée, puisqu'on changeant le
ÉTUDE DKS VALEURS nÉELLES DE pu. (ig
signe do n on change le signe du coefficient de i. Dans chacune des séries précédentes, les termes qui correspondent à deux valeurs imaginaires conjuguées de w ont une somme réelle : on en conclut que g2 6t^3 sont réels.
33. Valeurs réelles de l'argument. — En raisonnant de même pour chacune des séries
pu = > ; — —, » n' « = — ■). y »
U- ^ 1{U — IV)' W-j ^ Jmd{u—W)i
où l'on suppose u réel, on reconnaît que pu et pu sont réelles
quand l'argument u est réel.
Les valeurs de u qui rendent la dérivée nulle ou infinie sont de
la forme
mj lu -H rtiio',
//?i et /î| étant des nombres entiers.
1° Lorsque u croît de o à w par valeurs réelles, p' u varie d'une manière continue et ne change pas de signe; pour u positif et très petit p' u est très grande, en valeur absolue, et négative puisque sa valeur principale est
pour u = (o, p' u s'annule.
Donc, quand u croît de o à w, la dérivée est constamment négative, et elle passe par toute valeur négative; la fonction pu décroît constamment depuis +00 jusqu'à jDto = e|. Cette valeur e, est réelle.
L'équation
p'^ u =-- /'ipi u — ffiP a — gi
montre alors que u croissant de o à w, c'est-à-dire pu décroissant de 00 à ej , le polj'uome 4 P^ 11 — S'iP^'- — ë^ ^^ s'annule que pour a = (0 c'est-à-dire pour pu ::= e\. Le polynôme ^x'^ — g-^x — g^ n'a donc pas de racine réelle supérieure à e, : la plus grande racine de ce poljnome est la valeur que prend pu^ quand u égale la demi-période réelle.
L'argument u variant toujours de o à w, p' u est négatif, et l'on a.
en extrayant la racine,
OU, en posant x = pu,
dx
du =
\/ \x^ — fi'i X — :,':
Comme x décroît de oc à e, quand u croît de o à to, on a, en intégrant par rapport à «f de o à to et par rapport à ^ de oc à Ci,
par valeurs réelles,
/dx \/\X^— g^X — g:i
1^ Supposons maintenant que u est réel mais n'est plus compris entre o et w. Les égalités
montrent d'abord que, quand u varie entre — lo et o, jd «/ est réel et plus grande que e, , ^ u est positive et prend toutes les valeurs positives.
On peut toujours ramener un argument réel à être compris entre — co et to, en retranchant de cet argument un multiple de la période 2oj; les résultats précédents s'énoncent ainsi :
Quand l'argument u est réel la fonction pu et sa dérivée p u sont réelles. La valeur de pu est plus grande que e^ et le signe de p' u est celui de ( — i)'"+', si l'on a
ma)<«<(/n-4-iJa), /n étant un nombre entier.
54. Argument purement imaginaire. — Quand l'argument u est purement imaginaire, la fonction pu est réelle et p' u purement imaginaire. C'est ce qu'on voit immédiatement en se reportant aux séries. En effet, si l'on fait u = iV, en supposant v réel, la série pu donne
n ( tV I oj, w') = ; -r- > T-- r; t:
Dans celte dernière série iw ^ 2mitii+ 2 m' ioi' ] elle définit donc, au signe près, la fonction p{i') construite avec les périodes /w' et iio, ou avec les périodes — lo)' et ùo, car on peut changer le signe d'une des périodes. On a donc
(2) p('VI(a, w') = — p
La fonction ji(iV|a), co'), où l'argument est purement imaginaire, est ainsi ramenée à une autre fonction p à argument réel c,
construite avec les périodes — et iio dont la première est encore
réelle et la seconàe purement imaginaire avec un coefficient de i positif. Donc, quand u est purement imaginaire, p{u) est réelle. Cette formule (2) est un- cas particulier des formules d'homogénéité établies au n" 36 : on l'obtiendrait en prenant pi =^ i.
Les nouveaux invariants relatifs aux nouvelles périodes -r- et iw
se déduisent des expressions (i) en y remplaçant w par iw\ ils sont donc égaux à ^o et à — 0^3. On peut donc écrire aussi
Si Ion prend les dérivées par rapport à r dans les relations (2)
et (3) on a
. , / I a> ' . \ p {iv\ià, tii)= ip ( 'M J' î^h
P'{iv\ gi, gz)= i?'(.v\ gi, —gs)-
Donc, quand u est purement imaginaire, p'{ii) est purement imaginaire.
La fonction y = plçi-r-j to j =p(r; ^27 — © 3^ vérifie l'équation
le pol\nome en j' qui est dans le second membre admet pour racines — (?(, — ^2, — 63. D'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, quand r varie par valeurs réelles de o à la
demi-période réelle —, la nouvelle fonction j3(p) décroît constamment par valeurs réelles deooà p( -; — -,iti)j qui est la plus grande
72 CHAPITRK III.
racine — e^ du polynôme 4j^ — g^y + ps- L'on a de plus
Lu' C^
Donc, quand u = iv varie par valeurs purement imaginaires
de o à oj', la fonction ^:=p(?/jto, co'), qui est égale à — piv — . ?co j,
c/*o^/ constamment par valeurs réelles de — go à j3(w'|(o, to'), c'esl-à-dire de — oo à la plus petite racine e-i du poljnome
D\me façon générale, en appliquant à la fonction pfr -, w| et
à sa dérivée ce que nous avons vu dans le numéro précédent, pour un argument réel, on a le résultat suivant :
Quand l'argument u est purement imaginaire, la fonction pu est réelle et p' u est purement imaginaire, la valeur de
la fonction pu est négative et toujours inférieure à e^ ; -.p'{u) a le signe de ( — i)"'+' si Von a
lo' u to'
Il i
m, étant un nombre entier.
5o. Racines ej, ^2, e^. — Parmi les racines du polynôme 4.r^ — g-iX — ^3 la plus grande et la plus petite sont donc
Ces deux racines étant réelles et les invariants ^2 et g^ étant réels, la troisième racine e-^ est réelle aussi : elle est comprise entre les deux précédentes et a pour valeurs
Ainsi, en désignant, comme nous l'avons fait, par e,, e^^ e^ les racines qui correspondent aux demi-périodes w, w -+- w', lo', on a
56. Autres valeiirs de u rendant pu réelle. — Nous trouverons d'autres valeurs de l'argument faisant prendre à la fonction des
É T i n K n i: s valeurs r k e l l k s de p u . yi
valeurs réelles en considérant les développements de p(u -+- uy') et de p{i' + t'O-
i" Argument it -^- o)\ u étant réel. — D'après la définition même de pu, on a
/) — pio' = 7 7— T-;
U = o, rb 2, ±4) • • •> V = -J- I -t- 3 -+-5
Lorsque u est réel, si l'on change v en — v dans un terme imaginaire de la série, on obtient un autre terme imaginaire conjugué du précédent et la somme de ces deux termes est réelle. Donc p{u-\-hi') est réel quand u est réel. On voit, de même, que la dérivée
est réelle.
Quand u croît par valeurs réelles de o à w, i^ -+- w' varie de lo' à 10 H- to' et p'{u + co') ne devient ni nul, ni infini, sauf pour les valeurs extrêmes qui annulent toutes deux p'{u -{- lù'). Ainsi p'(«H-o/) garde un signe constant : jD(w-t-co') varie toujours dans le même sens. Or, la valeur de cette fonction pour « = o est ^3 ; pour u^=w, elle est e.y^e^. Donc p{u-\-(x)) croît constamment de ^3 à eo.
D'après cela, le signe constant de la dérivée est le signe +• Comme cette dérivée part de zéro pour revenir à zéro et reste finie elle a un maximum.
Ainsi, quand u croît de o à w, p(«-|-(o') est réel et croît de €3 à Co', la dérivée p'(u-'roi') est réelle, positive et inférieure à un certain maximum.
On en conclut une seconde expression de la période réelle aw. En effet, en faisant
piu -f- O)') = X,
on a
dx
du =
et quand u varie de o à o>, x varie de e-i à e-i par valeurs réelles ;
74 CIIAPITUE III.
on a donc, en intégrant par rapport à w de o à to, et par rapport à X de e-i k Co,
,,3 V^^^—gîX — g3
2° Argument it — co, t étant réel. — Considérons enfin un argument de la forme — lo + it, t étant réel. Dans la formule
p(à'lco, w') = — p/i'! j, iwj,
laisons IV = — w 4- H,
p ( — (x> -^ i(\iù, <x>') = — p(t -h ioi ^} i oj J .
la fonction qui est dans le second membre rentre, à un changement de notation près, dans le cas précédent.
Quand t varie de o à — cette fonction varie constamment dans ^ i
le même sens : il en est de même de la fonction p( — (o + i7|co, to');
or, cette fonction part de e, pour arriver à e^', elle décroît donc
constamment. Sa dérivée prise par rapport à <, i p'{ — w + iV| co, w')
est négative et, comme elle part de zéro pour arriver à zéro, elle
reste supérieure à un certain minimum.
Ainsi, quand t varie de o à — ■> p{ — 10 + //) décroît de e^ à Co;
ip'{ — iii -h it) est négative et reste supérieure à un certain minimum.
Comme
p ( u) -}- i7 I oj, co' ) = p ( — oj -1- iV I o), oj'),
le même résultat s'applique aux fonctions
p(a)+i7) et ip'{(x) -r- it).
Remarque. — Nous venons de trouver des valeurs de u pour lesquelles la valeur de la fonction pu est réelle et nous avons déjà
reconnu que, dans le cas actuel où les quantités oj et — sont
réelles, la fonction pu peut prendre une valeur réelle quelconque. Les autres valeurs de l'argument, pour lesquelles la fonction
ÉTLDE DKS V V MU R S HKKLLES DE pu. 75
prend des valeurs réelles, peuvenl se déduire des jirécédentes, en reniarquanl que réqualioii
pu — pv = o entraîne (n" 43)
à des multiples près des périodes.
o7. Résumé. — Considérons le rectangle de sommets o, oj, oj + 0)', lo'. Quand l'argument ii décrit le contour de ce rectangle dans le sens o, w, to+w', w', o, la fonction pu est réelle et diminue conslammenl de -h co à — x :
i" Quand ii va de o au sommet (o, pu est réelle et décroît de oc à e, ; p' u est négative.
2" Quand u va de w à o/, pu décroît de c, à Co, p' u est purement imaginaire positive.
3" La variable u allant de to + w' à w', pu décroît de e-y à e», p' u est réelle et positive.
4" Enfin u revenant de to' à o, pu décroît de <?3 à — x; p' u est purement imaginaire négative.
En tout point pris dans le rectangle pu est imaginaire. II. — Étude de la cubique définie par les équations a' = pu.y =p'u.
LEMNISCATE.
58. Cas général. — Considérons la cubique ayant pour équation
(') J-= ^^^—é'-2^ — ff3,
OÙ ff-i et ^3 désignent des constantes données quelconques. On démontre, en Géométrie analytique, que l'on peut, par une projection centrale ou perspective, lamener l'équation de toute courbe du troisième ordre à cette forme.
Construisons la fonction p(ii'i g'-i^ g'3)', nous pourrons exprimer les coordonnées d'un point de la courbe (1) en fonction d'un paramètre m, en posant
(2) ^ = pii, y = p'u.
A. chaque valeur de u répond alors un point de la courbe, car
les fonctions p et p' sont uniformes : ce point reste le même quand on ajoute à u des multiples des périodes 210 et 2w'. Réciproquement, à chaque point (x,y) de la courbe répond, dans un parallélogramme des périodes, une seule valeur de u. En effet, x étant donné seul, l'équation
donne, pour u, deux valeurs Uf et — u^ et toutes les valeurs homologues : comme la fonction p' u est impaire, à ces deux systèmes de valeurs de u, correspondent deux valeurs dey égales et de signes contraires ; ce sont les deux valeurs que l'on tirerait de l'équation (1). Si l'on fait choix d'une de ces valeurs dey, il lui correspond donc une seule valeur de u, U\ par exemple, et les valeurs homologues. La proposition est établie.
On a ainsi une représentation paramétrique parfaite de la courbe.
59. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Soient M,, Mo, M3 les trois points où une droite quelconque
y — ax — b = o
coupe la courbe. Les valeurs ^^,, Uy^ U3, situées dans un parallélogramme élémentaire et correspondant à ces trois points, sont racines de l'équation
p' u — apu — b = 0.
Le premier membre de cette équation est une fonction elliptique d'ordre 3 : elle a, dans un parallélogramme élémentaire, trois zéros w,, Uo, Uz et un infini triple homologue du point ;/ ^ o; d'après le théorème de Liouville, on a donc
n et n' étant des entiers.
Cette condition qui est nécessaire pour que les trois points correspondant à f^,, «2, u^ soient en ligne droite, est suffisante. En effet, soient M,, Mo, jMs les trois points correspondant aux trois valeurs m,, u.^-, U3. Joignons les deux premiers par une droite et appelons M3 le point où cette droite coupe la cubique
ÉTLDE DES V.VLEIKS IIKEI.I.ES DE pU. 77
et W3 le paramèlre correspondant. Les trois points M,, Mo, M', étant en ligne droite, on a
»i -t- u-,-h »'( = 'xint-o -h 'i/n' lo'.
m et m' entiers. En comparant à la relation (3) supposée vérifiée, on voit que u'.^ ne diffère de «3 que par des multiples des périodes ; donc M', coïncide avec M3 et les trois points considérés sont en ligne droite.
60. Formule d'addition. — La relation (3) permet de retrouver la formule d'addition de pu. Si l'on appelle u et t" les paramètres de deux points de la courbe, le point en ligne droite avec les deux premiers correspond ^à la valeur — (u-^v) du paramètre.
D'après cela, les abscisses des trois points d'intersection de la cubique avec une droite peuvent être représentées par
et les ordonnées par
pV, p'ii, —p'(u-hv).
J^'équation aux x des points d'intersection est
F{x) ss ^x^ — giX — ^.^.3 — {ax -\- b)-= o.
On voit d'abord que la somme des racines est — » ce qui donne la relation
p II -h pv -^ p{ U -^ v) = -—,
à laquelle il faut joindre l'une des suivantes
p' u — p' V — J)'("- -*"'') — ,P''^ — .P'*^ " -Ht') — ,p' u ~ V^ — V^ ~ P("-+-^) — J^'' "~ .pl»-»-^') — P«
obtenues en déterminant le coefficient angulaire de la droite au moyen des coordonnées de deux de ses points. En éliminant a on trouve le théorème d'addition
, ^ I Ip'u — p'vX"pu -\- pv -\- p(u -\- v) = -- I
On peut déduire de la même équation E(.r) = o une autre
formule d'addition donnant une expression du produit
(pu — pv)[p{u -h i>) — pv],
qui est très souvent utile. Posons
ri = pc, Xi:=pu, X3=p(u-hvy, nous aurons l'identité
^x^— ff-2^ — §'3 — (ax-^ b)-= ^(x — Xi)(x — Xi)(x — ^jV
Prenons les dérivées des deux membres puis faisons x=^Xi, nous trouverons
1-2^7 — ^2 — 2a{axi-h b) = '\( Xi — Xi'jÇx^ — Xi), OU, en introduisant les valeurs de la fonction j3 et se rappelant que
2{pu — pv)[p(u — p) — pp] = p"i> — ap'i',
p u — pv
En particulier, si a =: o, on a légalité
p"v = (x,— Xi)(X3—Xi),
qui donne une interprétation géométrique delà seconde dérivée p" v et permet de trouver son signe quand elle est réelle.
Addition d'une demi-période. — Ces considérations donnent une signification géométrique simple aux formules d'addition d'une demi-période établies dans le n° 47. On les obtient en coupant la courbe par une sécante passant par un des points où elle rencontre l'axe Ox. Ces points A,, A2, A3 ont pour coordonnées jK = o avec
x = ei, X = e^, X = Cz.
Ils correspondent aux valeurs w, co + to', co' de l'argument 11. Si donc on coupe par une sécante joignant le point
Ai(j>'=o , x = Cl)
correspondant à la valeur to du paramètre à un point M' de la
KTUDE OES VALKLRS IIKKLLES DE pU. 79
courbe correspondant à la valeur u du [)aramclre,"ette sécîinte coupe la courbe en un troisirnio point M" correspondant à une valeur u" telle que
(.û -\- u -}- II" — i. n «) -1- >. n' to',
et, en négligeant des multiples de périodes, on peut prendre u"= — (u -+- w). Ainsi les abscisses des points M' et M" sont
cr' = pu, x" = p ( «< -h to ).
D'autre part, en coupant la courbe
par une sécante issue du point A,
y = m{x — ei), on a, pour déterminer les abscisses x' etx", l'équation
ni-(T — ci) = ^{x — e2)(x — 63).
Si dans cette équation on considère x — e, comme l'inconnue, le produit des racines (x' — Ci)(x" — c, ) a pour valeur
(x— e, )(x-"— t'i j = (ei— <?2)(ei— Cs).
On a donc, d'après les valeurs de x' et x",
[pu — ei][p{u + oi) — ei] = (ei—e.î)(ei~e3),
ce ((ui est une des formules établies dans le n°47. On obtiendrait de même les deux autres en coupant par une sécante passant par l'un des points Ao ou A3.
01. Tangentes menées d'un point de la courbe. — ■ Menons la tangente à la courbe au point dont le paramètre est «, cette tangsnte rencontre encore la courbe en un point; soit v le paramètre de ce point. On a, d'après la condition qui exprime que trois points sont en ligne droite,
v H- ■->. Il =1/1 (I) -t- ■'. n ' vu'. On en déduit
^ . ■* " f'^ -î- 2 n' oj' 2 -jt
8o CII.VIMTUE m.
Dans celte formule, on peut donner k n el n' toutes les valeurs entières; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de 2(0 et 2 0)' donnent le même point de la courbe; il suffit donc de donner à /? et n' les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles. On a ainsi les quatre valeurs de u
> — l-CO, t-tO, I-W-+-CO.
Donc, par un point pris sur la courbe, on peut lui mener, en général, quatre tangentes distinctes de la tangente au point considéré.
Points d^ inflexion. — Comme autre application, cherchons les points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la tangente d'inflexion coupe la courbe en trois points confondus avec celui-là; il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes,
d'où
2rt W -i- 2/l'oj' U = : • •
Dans cette formule, on peut donner à n et n toutes les valeurs entières; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de 2C0 et aco' donnent le même point d'inflexion. Il suffit donc de donner k n el n' les valeurs o, i et 2 associées de toutes les manières possibles. On trouve ainsi /lei//" points d'inflexion dont les paramètres sont donnés par le Tableau suivant, oii Un,n' désigne la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n et n' :
4co «M=-3-'
4 W -i- 2 Co'
2 KJ -^ 4 (jj'
Ces points sont trois à trois en ligne droite ; îa droite, qui joint deux quelconques d'entre eux, passe par un troisième; on a, par
i: ri 1)1-: ni: s valeurs h i; i: i. l k s ni: pu. }<i
«■xomplo,
Le premier point //n.n csl rejelé à l'infini dans la direclion
de O)'.
{)^2. Condition pour que ']/> points de la cubique soient sur une courbe d'ordre //. — • ( ilicrcliuiis daburd la condition pour (pic six points de la cubi(jue soient sur une conique.
Si l'on coupe la cubique par une conique
A ,2 -X- -2 15 jy -^ C j'2 -4- 2 D .7- -t- v» Ey -f- F --= o,
Tt^pialion (pii détermine les paramètres des points d'intersection s'obtiendra en reniplaçanl j: cl j' par pu et par j///. Le premier membre de cette équation est une fonction doublement périodique (jui, dans un parallélogramme élémentaire comprenant l'origine, admet zéro comme pôle d'ordre G et n'admet j)as d'autre pôle; l'équation admet donc six racines (n"*38et39) et la somme de ces racines est nulle, à des multiples |)rès des périodes.
Ainsi la condition nécessaire pour que six points de la cuijique soient sur une conique est que les paramètres de ces six points vérilient l'égalité
l/[— It-i^r- /':j-t- U;-^- Ur,^r- U f, = '. // CO -+- l/l'io'.
La condition est suffisante car si elle est remplie, la conique, passant par les cinq premiers points, coupe la cubique en un sixième point dont le paramètre //J. doit être congruent à //,j.
On obtiendrait, de même, la condition pour rpie 3// points de la cubique soient sur une courbe d'ordre n. Celle condition est
Par exemple, une autre cubique coupe la cubi(pH' donnée en neuf points cpii doivent être assujettis à une condition, |)uisqu(', par neni' pf»ints donnés, il ne passe, en gén(''ral, qu'une seule (•iibi(pic. Le théorème précédent exprime celte condition de la façon la plus simple.
(]e théorème a de très nombreuses applications géomélrinues, nous en donnerons seulement quelques exemples.
Si CHAPITRE m.
Applications. — i" Lorsque six des neufs points d'intersection do deux cubiques appartiennent à une même conique les trois autres points sont en ligne droite.
En effet, soient ;/,, Uo. • • ., «9 les paramètres des neuf points suivant lesquels la cubique donnée est coupée par une autre cubique, on a la condition
dû, comme dans tout ce qui suit, le signe ^ indique que l'égalité a lieu à des multiples de périodes près. Supposons que les six premiers points appartiennent à une même conique, on aura celte aulre condition
»1 -H »2 +. . .-r- iffiSS O,
cl Ton déduit de ces deux conditions l'égalité
u- ■+- Us ■+- Uo^ o,
(pii exprime bien que les trois derniers points sont en ligne droite. Le théorème est donc démontré.
2° Si l'on considère une conique variable passant par quatre points fixes pris sur une cubique, la droite qui joint les deux points d'intersection mobiles passe par un point fixe de la cubique.
Soient ;/|, u-,, U3, 11,, Ui, Uq les paramètres des six points d'intersection, les quatre premiers se rapportant aux points fixes.
Posons
uy -^ ?/o -H u.i -h Ui = r ;
V est une constante. La relation qui exprime que les six points considérés de la cubique sont sur une conique devient
elle exprime que les points dont les paramètres sont ii^, it^ et r sont en ligne droite. Gomme p est le paramètre d'un point fixe, la proposition se trouve démontrée.
Courbes de contact. — Les applications suivantes sont relatives à des courbes de contact, c'est-à-dire à des courbes qui ont avec la cubique plusieurs points d'intersection confondus.
3° Considérons d'abord des coniques trois fois tangentes à la
KTLDi; i)i;s vAi.i:i ««^ ii i-: i; 1. 1. 1; s m; ]<ii. S{
( iil)i(|iic; si Ton désigne les paiarnèlrcs des points de eonlacl p. h //, , //o, //;, on doit avoir
2«1-|- ■>.l(.,— -I.lli= JL/IO} -:- xn'o}'.
ou bien
«1 ^- u,-T- n.i = iioj -.- /l'w':
il siillil de donner à chacun des nombres enliers n et //les valeurs
de <) el I .
Si l'on prend
// = II. Il' -- <).
l'égalilé exprime que le^ trois |)oiiiis sont en ligne droite. (^esL le cas où la conique se réduit à une droite double ; écartons ce cas ; il reste trois familles de ccjniques correspondant aux relations
T- lli^ "3^ tO,
— 11,-^ tl^-r?= (O'.
