II

- Il-i -*- Il . r <<) -

- CJ

On peut donc choisir arbitrairement deux des j)oints de eonlacl pour cliacpie conique d'une lamdie. Prenons une conic|ue, de la première famille par exemple; si Ton fait passer une conique par les trois points de contact //,, //o, <r,, elle rencontrera encore la cubique en trois points ii\. a.,, f/\ el Ton aura

» > -- Il , — Il , — Il .,— Il , = i II i>)

De cette relation el de la condition déjà vérifiée par //,. i/... i/,.. on déduit

ll\ — u'., -¥- ll'f ' 10,

et l'on voit que les trois nouveaux points sont aussi les points ilr contact d'une conique trois fois tangente à la cubi({ue apparlenanl à la même famille.

'l" Cherchons encore les points de la cubicjue où la conique osculatrice a un contact du cinquième ordre, ou, ce qui revient au même, les coniques qui reneoulrenl la eul»itpie en six points coufondus.

(Jn doit avoir pour le paramètre du point de contact

G II — "2// (•) — JL/ilo' ,

84 cil V PI tri: 1 1 1.

ou \)\CU

n II'

Il = ) 10 -;- — ■>. (o

Cliaciin tics nombres enliers /i cl /i' peul prendre loules les valeurs de o à 5, ce (jui donne 6-= 36 points.

On trouve parmi ces points les neuf points d'inflexion qu'on obtient en considérant les langontesd'inflexion comme des droites

doubles, puis

iioinls de contact de véritables coni(|ues suiosculalrices. Ces points sont six par six sur des coniques.

iVA. Cas particulier où w et — sont réels. Forme de la courbe.

Nature de l'argument donnant des points réels. — JNoiis allons

maintenant examiner le cas parlicalier où o) et — sont réels, de

façon à avoir une représentation géométri(|iie des résultats du paragraphe précédent. Dans ce cas, la courbe a pour équation

où (?i, e-y, e-i sont réels et rangés par ordre de grandeur décroissante. Pour que y soit réel il faut que x soit compris entre t'.i et e-i, ou plus grand que t'|. On voit immédiatement que la courbe est formée d'une ovale A3 Ao et d'une branche infinie A, de nature parabolique, sur laquelle la tangente tend à devenir parallèle à Oy

Cherchons quelles valeurs il faut donner à u pour obtenir les point réels de la courbe. D'abord, ])Our obtenir les points de la branche infinie, il faut donner à 11 des valeurs faisant varier x de Ci à -h 30, c'est-à-dire des valeurs réelles. Puis, pour obtenir les points de l'ovale, il faut donner à u des valeurs faisant varier ./• de e-i à Co, c'est-à-dire des valeurs de la forme // 4- w', u étant réel.

On peut facilement suivre sur la courbe la marche du poiiil (x,^') quand l'argument prend ces deux systèmes de valeurs.

Supposons d'abord u réel; il suffil, à cause de la périodicité, de le faire varier de — (o à -h to, en remarquanl que des valeurs de //

KTiDi-; in; s v\i, i:rns ii i: 1:1.1.1: s i»e pu. «»

égales et de signes contraires donncnl des [)oinls de la coiirhe sj-

métriques par rapport à Ox. Quand u croît de o à oi, x décroît

de -|- 3c à ^t,y croît de — 00 à o : on a donc la branche infinie de

courbe située au-dessous de Ox et venant aboutir au point A,

dont les coordonnées sont Ci et o. Au point \| la tangente est [)a-

rallele a Uy puisque — =z p u ^ annule pour // = o) et que -y- ne

s'annule pas pour celle valeur, (^uand u varie de o à — (o, on obtient la branche de courbe symétrique de la précédenlc par rapport à Ox. Nous avons ainsi conslruil la partie de la courbr donnée par des valeurs réelles de Targunient.

Supposons maintenant l'argunienl de la forme u -+- <-<>' et faisons varier m, par valeurs réelles, de o à w; x croît de Ct à e.,', y csi positif, varie d'une manière continue et part de zéro pour revenir à zéro. On a donc la branche de courbe située au-dessus de Ox et allant du point A3(e3,o) au point A2(^o,o); les tangentes en A3 et Ao sont parallèles à Oy. L'argument étant toujours de la forme u-{-w', en faisant varier u par valeurs réelles de o à — (o, on obtient le deuxième arc de l'ovale symétrique du premier par rapport à Ox. Nous avons ainsi construit la partie de la courbe (ovale) correspondant aux valeurs de la forme (/-h (-<^', n réel.

86 ciiAiMini: m.

Tangciilcs parallèles à Ox. Signe de p" i/. — Comme on a y::=p'u, les valeurs de // coiTcspondant aux points où la langente

est parallèle à Oj" sont racines de l'équalion ~- =o ou p" a^=o. La

fonction jd"?/, qui est poire et d'ordre /\, a, dans un parallélogramme, (jualrc zéros deux à deux égaux et de signes contraires. H y a donc sur la courbe quatre points où la tangente est parallèle à Ox. Deux points, les points H( cl Bo, sont seuls réels : en efïct les

abscisses de ces points sont racines de l'équation -^ r= o ou, d'après l'équation de la courbe, i2.r- — ^2= o- Cette équation, dont le premier membre est la dérivée du polynôme /iX^ — go^ — o^-> a une racine a entre e^ et e.2 et une autre [i entre e^ et e^] cette dernière seule donne des points réels B, et Bo.

L'identité 2p" u = }2p'- u — g2^ i2X- — ^o donne le signe de p" f/. Sur la branche infinie, .r ^ a, p" 1/ est positif. Pour l'ovale, sur l'arc B, AoBo, p" u est négatif, car x est alors compris entre les deux racines a et |3 de i2.r- — ^o ! s^n' l'arc B, A3B0, p" u est positif, car X est inférieur à p.

Tangentes menées par un point de paramètre v. — Nous avons vu que les quatre points de contact correspondent aux valeurs du paramètre

On peut donc, par un point P pris sur la courbe, mener quatre tangentes, en général distinctes de la tangente au point considéré. Lorsque v est réel, pour deux des points de contact, l'argument est réel; pour les deux autres il est de la forme co'-f- ?/, , ;/, étant réel. Donc, lorsque le point P est pris sur la branche infinie, les quatre tangentes sont réelles : deux des points de contact sont sur l'ovale et les deux autres sur la branche infinie. Lorsque c est de b forme (o'-f- ((, r, étant réel, on a

Les arguments des points de contact ne sont ni réels, ni de la forme to' + W) , W| étant réel (à des périodes près). Par un point P

É T t D E DES V A l- E II n S R K C I, I. K S I) !•: pu. 87

pris sur l'ovale on ne peut j)as mener à la coiuhe une langcnto réelle.

Points d^injlexion. — Nous avons trouvé plus haut neuf valeurs du paramètre donnant les neuf points d'inflexion. Dans le cas jiarliculicr que nous examinons ici, trois de ces valeurs

sont réelles; elles donnent trois points d'inflexion réels situés sur la branche infinie, le premier à l'infini, les deux autres aux points li et \-2 symétri([ues par rapport à O^. Ces trois points sont en ligne droite.

Ci-. Dégénérescence. Cas d'un point double. — Supposons le discriminant gl — ^" S'I nul. La cubique a alors un j)oint double. Une des périodes 2(o' est infinie (n'^'âî^ et 37) et pu se réduit à

sni- —