CO 2 W
SS cil \ IMTIIK III.
équalion du Iroisicme degré en
t = col 1
ai 1 -+- t-)-\-bt{i-\- t-)^ c = o.
I^a somme des produits des racines deux à deux, élanl i on ;t, d'après la formule donnant la eotangente d'une somme,
rot -^( lly ■+- lln-\- lti)= ^, 2 0)
"- ( ttx -f- »>-+- ?<.i)= "~;
ce qui est bien la relation indiquée. Actuellement il n'y a plus que trois points d'inflexion; car en faisant Us = ?/2= ";!= ''? on a
3 n =2» tu.
d'où trois valeurs donnant des points distincts
2 W „, 4 OJ
/( = (), Il = — ^ , Zi = -7^ •
Ces points sont en ligne droite car
II' -^ «"-}- u"'= 2C0.
C«5 cV un point de rebroussenient. — Si ^'■2 = ^'3=0 la cubique devient
elle a un rebroussement. Alors les deux périodes w et (>/ sont infinies; on a (n° 23) :
Les trois valeurs de u correspondant à trois points en ligne droite vérifient alors la relation
en elTet, elles sont racines d'une équation de la forme
— -f- -^ -+- 6 = o, ({ui, rendue entière, ne contient pas de terme en //-.
KTLDi: i»i:s v.vi, i;i ns ni;i:t. r. rs ni: pu. Il iVy a |)Iii-. (|irim [ininl (rinlk-xion. car en fai?anl
» I = II, — ll-i= n.
on a
i II = (».
Ce point crinlle\ion esl d'ailleurs rejel<' à 1 inliiii.
05. Rectification de la lemniscate. — Soil une leniniscale ajani pour (■(jualioii en coordonnées polaires
Fig. (>.
L'arc OM = .ç {Jis^- 6), compté à partir du point double où / est nul, esl donné par les formules
cts =\' cfr'-^ /■- an- = — — r ' 2 dr
Faisons le changement de variable
vient
on a donc une intégrale de la forme
.CTf^
avec g'.,= ^ - A'3 = o- ^^n en conclut
«)o ciiAi'iTUi: m.
Ou a ainsi une représentation gôoniétrique de la fonction p(.v; I, o) pour les valeurs réelles de l'argument.
Actuellement les racines c^, r^, C3 sont -» o et Les expressions
c'esl-à-dire
ou encore
v/'2siiiO
v/^ cosO
sont des fonctions uniformes de s exprimées par les quotients
^l(^) g'2(-0 lilf).
:i{s)' cf(s)' j'(.9)'
On a ainsi une représentation géométrique de ces trois fonctions |:)Our le cas go:= \ , ^3^ o.
La demi-période réelle est donnée par
Elle est égale au quart de la longueur totale de la lemniscate, car en revenant à la variable ;', on a
ry~^ idr
ce qui est la longueur de l'arc OA.
III. — Pendule sphérique. Corps pesant de révolution. Élastique gauche.
66. Pendule sphérique. — Le pendule sphérique est constitué par un point pesant mobile sans frottement sur une sphère fixe. Prenons pour origine le centre de la sphère et pour axe des ;: une verticale dirigée vers le haut. En coordonnées semipolaires l'équation de la sphère est
KTL'Di-: i)i;s v\i. Kiiis ni;i:r. i.RS dk |w/. iji
rn ik'signaiil |);u' / la lonmiciir du pendule. Le niohilc csl soumis à l'aclion de deux forces, son poids et la réaction normale de la s|)hère; le théorème des forces vives donne donc
t'- — — if^z -- h.
De plus, les deux forces étant dans un même plan avec Taxe des z, on peut appliquer le principe des aires à la projection du mouvement sur le plan JcOy :
,"- d''j = C dt.
•l désignant l'angle polaire. Ces trois équations déterminent z, r et 6 en fonction de t.
Cherchons d'abord à déterminer ; : il faudra jiour cela éliminer /• et 'l. L'équation des forces vives peut s'écrire
dr^- ;- ,.2 f/,|,2 ^ ry,-2
-— — — "ii;: z -k- h.
dt''
De l'équation de la sphère, on tire /• = y//- — :;-; d'autre part, réf| nation des aires donne
C dt C.dt
Portant ces expressions dans l'équation des forces vives, on a une équation de la forme
\dt
r-c--^) =^{zh
où '^{z) désigne le polynôme du troisième degré
o(z) = {fl — 'ÎJ^z)(l- — z'^) — C-.
On en déduit le temps t et l'angle 'l en fonction de z par des intégrales elliptiques.
Pour que ^ soit réel, il faut que 'f(:;) soit positif. Ce polynôme
a ses racines réelles : en effet, appelons :;o la valeur initiale de ; et substituons dans 'ç{z) la suite des nombres +co, /, ^o? — ^', »o"^ trouverons, pour les résultats des substitutions, les signes +, — , -h, — , car Zn rend évidemment '■p(-o) positif, la valeur initiale
*lt t 11 M' nui; m.
lie ,- élanl rrcllo. Il v a donc une racine z, de '^(^) cnlr<' -f- x
et /, une antre z^ entre / et ;,,? "'if troisième ^3 entre ;„ et — /. Ainsi les nombres de la suite
sont iani;(''s |)ar ordre de grandeur décroissante. La variable c |)aitanl de cJq ne peut varier que dans l'intervalle Co z-^i.
Calcul de z. — l^a coordonnée c est donnée en fonction de /
par ré(|uation (i) d'après laquelle ^"(77) est égal à un polynoir.c
'i(;)du troisième degré en ;. Pour en tirer ; par une fonclmii elliptique de /, nous commencerons par faire un changement linéaire de variable de la forme
où .ç désigne la nouvelle inconnue et M et N deux constantes telle > que l'équation (1) prenne la forme
