VA .,

[*ar la substitution (2) i'éqùalion (i) devient

Pour identifier avec la forme (3), iUfaut égalera 4 'e coefficient de 5' et à o celui de 5- dans le deuxième membre. On a ainsi

Ci) M

L'équation prend alors la forme (3) à condition d'attribuer aux constantes ^2 et g^ des valeurs convenablement choisies.

Comme le polynôme '-p(^) a trois racines réelles ^1 > :?o>> z-^, le |)olynome transformé

Ci,'

!•: r i 1 1 1: o i; s \ v 1. 1-: i" r s n i; i: i, i, i: s o n p u . A liois racines réelles <'|, e-,^ ('w

vr' '-- =

cl l'on a t'i > ''j^ f;t, car M csl posllif.

Construisons alors la fonction pu avec les invariants g^ cl g:\'. celle fonction V(''ri(i(; récuialion

j. - // -^ , p^ /, — -.p ,/ — -, = -= £jje

Si donc on poie

s — ]Mi, :; = M |)//. -T- N,

// étant regardé comme fonctitî'n du temps /, l'équation ( 'î) devient

/ f/ll \ - ^///

\dî) ""' 7/7 ""

On peut toujours prendre le signe H-, car pu étant paire, on pi'iii changer le signe de u. On a alors

// = / -f- consl .

Cherchons maintenant de cpielle forme est la constante. Comme la valeur trouvée pour ^[ est positive, la relation

z = yipu-\

montre que s^pn varie dans le même sens que ;. Donc quand z d(''cr()îl de z-2 à ;;,, pu décroit de e-, à e.t, u — lo' est donc réel et ion a

u =. t -^ Oj'.

si l'on compte le temps à partir de l'instant où z = ;,.

I>a demi-p('iiode réelle lo est le temjis que met ; à varier ilc r^

Calcul (le 'II. — L angle 'L est défini pir l'éipinijon dillérenliclh

(Pj =

■il

1)4 cil AI' nui; III.

(|iic iu»iis ccrirous. en rcinarquanl (jne (// = du,

Dans celle équation, il faut remplacer z par sa valeur

le coefficient de du esl alors une fonction elliptique de // que nous allons décomposer en cléments simples, de façon à pouvoir intégrer.

(À)nsidérons deux arguments (t et ù définis par les relations

(7) / = Mpa-^^. - / ^ M,|./> -i-N,

ces arguments sont définis aux signes près; nous verrons plus loin comment il convient de choisir leurs signes. Alors l'expression de d-l devient

d'il

•iWl \ p// — j)c/ Y' IL - ]>A

où il reste à donner une forme simple au coefficient —rrr-,-

' '.i IM /

l*our cela remarquons que le polynôme

se réduit à — tttt; pour z-.=. / et c = — /, e'esl-à-dire poui- ii=^u et if= ù; comme on a identiquement

ou trouve, en faisant successivement a = a et u = 0,

Nous prendrons, en extrayant les racines,

ce (ju on peut toujours faire, car jusqu'à j)résent les signes de a

K T i I) i; I) i; s V A I, i; i u s it i'; i: l m: s i» i; pu. 9 >

( l fj iiV'laicnl pas déterminés; nous les tlélerminons par le choix (le si;^iu's que nous venons de faire pour p'c/ et p'A. On j)cul donc écrire

du pu — pO pu — pu

La décomposition du second membre en éléments simples se fait en appliquant deux fois la foiinule (tii) du n" ii

•2i-r- — Z( u -i- a) — Z(ii — fi ) — 'ifi,

— Z( u ^ b) -+-li u — 0 ) -r- 'i^Ù.

En intégrant et en remonlant des logarithme? aux nombres on trouve

::' { Il — a ) :f{u^T-b)

La constante d'intégration — E- se détermine par les condilions initiales.

L'angle 'l est ainsi exprimé en fonction du temps.

tCxpressions de x et y. — On a

., x-r-iv ,,^j( Il -{- n \ :f{ Il — b) ^ y, y

X — ly jI u — a) -iiu -^ o )

D'autre part, d'après l'équation de la sphère,

{ T -^ iy){T — iy) = { l — z )(l -\- z) — — 'SV-ipu. ~pa ){pu — ph ). . . , . , ^,^ :f{u ~h a) a'(if — a ) a'ut -^ b) :f{ Il — b )

^ -^ '^ -^ ' li-u-i^a -i-uj-b

En multipliant membre à membre les égalités qui donnent

'- — —r- et {^x -i- iy){x — iy) on obtient [x + /'j')-.

on en conclut

I 'i{ u - a) :ï(u-yb) ^ „ , •^ h ^a jbj- Il

J''.n(in, remplaçons M par sa valeur en fonction des éléments elliptiques, valeur qui peut s'obtenir en retranchant mendjre à

(jC cil \ iMTiu: III.

Mi<'ml)ir les é/^alilés

— / ^ Mpa — 'S, —/ = Mpù-i-'S; ,/-,-/(- — / 1-. -. -. ■ e" --''-^."\

'^^■^(a-hO)^(a^ù)

1i II ^' fl )j{ (1 — h)

■'.jUj h

■i{ Il — a) -ii u -^ h)

On a ainsi x, y, z exprimés en fonctions uniformes de t. (hiand / augmente de 210, z reprend la même valeur, l'angle j)0lairc'!/ augmente d'une certaine constante.

(»7. Corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe. — l*renons pour origine le point de suspension O, pour axes lirs au corps l'axe de révolution O; et deux axes perpendiculaires, pour axes fixes la verticale ascendante 0.^1 et deux axes perpendiculaires. On démontre en Mécanique (') que les angles d'Euler 0, '^, 'i^, qui définissent la position des axes liés au corps par rapport aux axes fixes, sont donnés en fonction du temps par les formules suivantes. D'abord, en posant cosO = z, on a

on m, n. 7., j désignent des constantes, dont la première m est

positive, de sorte que f{z) est un polynôme du troisième degré.

On a ensuite

d'I 'i — nz (2)

Ci)

/'o désignant une autre constante.

11 s'agit de tirer de ces équations 0, o, 'l en fonction du temps. Les calculs, comme on va le voir, présentent une grande analogie avec ceux que nous venons de faire pour le pendule sphérique.

/:. dl

{') Voir ^ri'ELi-, Traité de \fecaniqiie, l. II, n" 40!?.

Krir»K UKs VAi, i;(ns ni:i:i. t. Ks tu; pu. f)y

(^elle analogie pciil iillor jusqu'il l'idculilf'. (;ir, djins le cas |);jiljciilier où le corj)S posanl de révolulion se r<'-(luil à un srul |)i)iiil nialériel, il consliluo un pendule .s|)liérif[ue.

Le poljnome/(c) est né;,'alif pour le> valeurs — x, — i cl -f- i df :;, tandis (pi'il est positif pour la \al<'ui- iniliale z„ de z qui

rend nécessairement ~ n'el cl pour -'- x. Il a donc ses trois raut '

cines c,, Cj, -3 réelles et comprises resj)ectivemefit dans les intervalles (+v:, -h i), (h-i, :;„) et (cc, — 1).

(filleul rie r. — Commençons par laiie un clianj^ement linrairtr de \arialjle

où M et \ sont des constantes choisies de telle façon que l'équation en ç prenne la forme

Par ce chan;^emenl i'équalion (ij devient

^'^ (,.//,) = Mi

On dé'lerminera les coefficients M et N de façon à rendre <'j;;d à 'i le coefficient de 5'' et à o celui de s-; après celle délermina-

lion, qui donne t)Our M la valeur positive M = — » on pourra Il 1 /« '

écrire

à condition de donner aux invariants ^'.j et ;;'■.•, I(,'S vaK-urs qui rendent le premier memijre identique au deuxième.

Les racines du polvnomeyf:;) étant, par ordre de grandeurs décroissantes :;,, z-,f -^3, celles du poljnome transformé en s seront

Pour que f{z) soit [)Osilif il faut <pi(; :; partant de ::„ varie entre z, et -35 donc .v devra varier entre r., et c^-

Si l'on construit la fonction pu aux invariants i'j et 4^3, cette