A. KT L. T

98 eu A PI TU i: 1 1 I.

fonction séiifiora IV'ciiialioii

Nous poserons alors .ç= p// en regardanl u eomnie une fonction (Je t. cl ré(]ualion (j) dc\iendra

c'est- à-dire

du\- du

où nous prenons +1, car, ^u étant paire, on peut toujours changer a de signe. On a alors

u =^ t -r- const.,

et, comme s = pu doit rester compris entre ^2 et c.j. // — (-/ doit cire réel. Nous ferons

alors pour / = o, u = oj', pu = e^, z = z.i.

Le temps est donc compté à partir d'un instant où ;: = z-^.

En résumé, nous avons exprimé c en fonction uniforme du temps par la formule

:; = M jl II -i- \. K — i -^- oj'.

La demi-période w est le temps que met z à varier de ^3 à ^^ et inversement.

Calcul de 'l. — On a

d'I '^ — HZ 1 / ? H- " 3 — /?

liemplaçanl, dans cette expression, :; par sa valeur

et dl par du, on est ramené, pour avoir 'h, à intégrer une fonction elliptique. Pour faire cette intégration il faut décomposer la fonction elliptique du second membre en éléments simples. Pour

KTLDE DES VALEURS nÉELLES DE pil. r)l)

cela, tU'lcrminons deux argumenis conslanls a cl b par les conditions que [)Our // =: (f, z- devienne égal à i et pour u= 0^ z devienne égal à — I

\ Mjjrt -T- N = r, '^^ i Mp6-f-N=— I.

Ces argumenis sont déterminés aux signes près par ces deux équations, si Ton regarde comme équivalentes deux valeurs de a ou deux valeurs de b ne dififéranl que par des multiples des périodes. On aura alors

d'il I / 3 H- /î p — n

du '1 xM \pu — p h ])u — pa

Les rapports ^-^ — , ~- — s exjiriment d une manière simple a

l'aide de a et b. Remarquons pour cela que le polynôme f{z) se réduit à — (,3 — n)- pour ;: = i et à — (? + /')" pour z = — i . Donc la fonction y*(]Mpw + N) se réduit à — (^3 — /?)- pour u := a et à — (1^ + n)- pour a = b. Mais comme on a identiquement

on a, en faisant successivement i/ z= a el // = b,

En extrayant les racines, nous prendrons

. jj

p' a = i - — ^^ — > p' ff — i -

en choisissant convenablement les signes de a et b qui jusqu'ici étaient restés indéterminés. Nous aurons alors

.d^ p'h p'rt

du p H — p b p II — pu

[..'inh'gralion s'effectue comme dans le cas du pendule spliérique.

Si Ton appelle a", ,3", y" les cosinus des angles que fait Taxe Oc

1 00 c II A p I T m: III.

du corps avec les axes fixes O.r,. Ovi, O:,^ on a

(le plus a" et [j" sont les coordonnées x^ et >', du point situé sur l'axe du corps à une dislance i du point O; en appliquant une méthode identique à celle que nous avons suivie pour calculera: et y dans le ])endule sphérique, avec ce seul changement que, actuellement, / se trouve remplacé par 1, on trouve

' :f(a-ho):fi<i — o) a"-u

I 9.j'a:fh 3'(k — a) a'(u -h b) ,,, y ,

' li a'(a -i- b ) j{a — b ) 3'^ «

avec

U = t -T- Oj',

Calcul de 's. — On a

dcf d'b p — nz

clt dt j — ^-

Décomposanl le second membre en fractions simples, il vient TÙ '• — " ^ - ' '- -

Remplaçons c j)ar Mjd;/ + N et introduisant comme tout à l'heure les arguments a et ^, on a

d'Zi I / p'a p'Z»

du ' iiypu — pa pu — pb / '

d'où, en décomposant en éléments simples,

2t ,' = 2<(/'o — n)-h t(u — a) — ^(u -^ a)+ 2ta (tu . / . - / .

^T^{u — b) — ^(u-hb)^'ilb,

et en intégrant

»• »■ 1 /-,3'(« — a) a' (il — b) „ ,y y,, çii'^—^i r^— 11)11 —- Q ^ ' ^ i g-i-2ll^li,a+l,o}• :ï(u -{- a) a'{u -T- b) '

la constante C se détermine en écrivant, par exemple, que es est nul pour i = o, c'est-à-dire u = w'.

KTiDi; Di;s VAi, Kiiis iu;i:i. I. i:s ni-: pu. roi

CxS. La courbe élastique gauche ('). — Il s'agit de Irouver la ligure d'équilibre cliinc lige flexible dont la section est circulaire <•( qui est soumise à l'action de forces appliquées seulement à ses extrémités.

Si Ton choisit convenablement les axes de coordonnées, on Irouve pour définir la courbe cliercliée les équations difTérentielles

(I) < z'x" — t' z" = ciy' — ^x,

{ x'r" — y' x" ^ OLz' -^ -"

dans lesquelles jc\ y', z', x" , y, z" désignent les dérivées par rapport à l'arc s des coordonnées x, y, z- et t., [i, v des constantes dont les deux premières sont essentiellement positives.

Ajoutons membre à membre les équations précédentes après avoir multiplié les deux membres de chacune d'elles respectivement par x', y', :■' ; en tenant compte de la relation

nous trouvons

Ci) 'x-^'ii{yx'—xyj^-.'z'=o

et en différentiant le premier membre par rapport à i-

(3) [i(yx"-xy')^'(z"=o.

Multiplions maintenant par x les deux membres de la première équation dillerentielle, \)ar y\cs deux membres de la deuxième et ajoutons, il vient

z"(xy—yx')—z'{xy'—yx")= 7.(xx'^yy'),

et si Ton remplace xy — yx' et xf' — yx" par leurs valeurs en fonction de z' et de :;" tirées des équations (2) et (3).

z"(a-r-'iz')—z'-iz"= a '^(xx'-hyy), ou encore

^{xx'-hyy) = z".

( ' ) Voir Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, p. gS ; et une Note de -M. J. Bertrand dans la Mécanique analytique de Lagrange ((■'dilion publiée par iM. Darboux, t. i, p. /)6o).

102 CUV PITRE III. — ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE p II .

En inlégrant cl en désignant par ô une nouvelle constante

Ainsi, des équations dififérentielles données (i), nous pouvons déduire le système suivant

fi ( x.r' ■+- yy' ) — z"

Servons-nous maintenant de l'identité

{xx'-^-yyy--h(yx'—xyy- = (x'^-\-y^-){x'^--\-y"-),

nous obtiendrons, pour déterminer z' . l'équation différentielle

Dans le cas particulier où v=o, cette équation différentielle a, au signe de z' près, la même forme que celle qui s'est présentée à propos du pendule sphérique et s'intègre de la même manière.

Si y^o, l'équation différentielle ne diffère de celle qui donne :: = cos^,]dans le mouvement d'un corps grave de révolution, que par le signe de z' \ la méthode suivie dans ce dernier cas s'applique donc sans difficulté au cas de l'élastique gauche et l'on pourrait d'ailleurs mettre les problèmes en équation de manière à aboutir à des équationsMifférentielles identiques.

D'après {un théorème dû à Kirchhoff, l'axe d'un pendule sphérique ou d'une'toupie dont la pointe est fixe reste toujours parallèle à la tangente à une courbe élastique gauche, le point de contact de la tangente décrivant la courbe avec une vitesse constante (').

( ' ) Voir Greenuill, Fonctions elliptiques, p. 820 et 824, Poincaré, Leçons sur la Théorie de l'Élasticité, p. 201.

EXE II Cl ci; s sLu i.i: chai'ITiie m. io3