EXERCICES SUR LE CHAPITRE III

1. Déterniiiier les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique ar = pz<, y = p' u |)ar le sommet A, de la branche infinie (w et co' réels).

\Zn conclure que, Ox étant supposé horizontal, 'si l'on considère le point

le plus haut de l'ovale on peut prendre pour paramètre de ce point une

quantité de la forme « -4- w', a étant une quantité réelle comprise entre o

et - •

Il suffit pour le voir de prendre un arLjiiiiient ii -r- lo', de faire varier u

de o à — et de remarquer que 1- oj corresi>on(l a une langenle menée du

sommet Ai-

'■2. Le rapport anharmoniquc des quatre tangentes menées à la cubique par un point P pris sur la courbe reste constant quand le point P se déplace sur la cubique.

On peut obtenir ce rapport anharmonique en fonction des coordonnées du point P et des coordonnées des quatre points de contact. On exprime ensuite ces coordonnées à l'aide des paramètres elliptiques correspondants et l'on applique la formule de l'exemple 2. page G3.

[i. Si l'on appelle points correspondant* d'une cubique deux points tel? que les tangentes en ces points vont se couper sur la courbe, il y a trois points correspondants d'un point donné et, en désignant par u le paramètre du point donné, on peut prendre comme paramètres des points correspondants

i( ~ M, u -7- co', u -+- O) -i- to';

chacune des demi-périodes définit un des trois systèmes de correspondance. Si l'on considère deux couples de points correspondants du même système : A, A' d'une part, B, B' d'autre part, les droites qui joignent les points non correspondants AB, A'B' ou AB', BA' se coupent sur la courbe et les deux nouveaux points sont des points correspondants dans le même système.

i. Sur la cubique définie par les équations

X — pu, y — p' II,

on prend deux points dont les paramètres diffèrent d'une constante v; la droite qui joint ces deux points enveloppe une courbe de sixième classe. Dans le cas particulier où c a l'une des valeurs

I04 EXERCICES Sin I. E CHAPITRE III.

l'enveloppe est une courbe de tioisièine classe (qui se présente ici comme comptée deux fois).

Dans l'équation de la droite joignant les deux ]ioints on remplace les coordonnées courantes par les coordonnées Tq ,^o fl un point Pq, l'équation en II ainsi obtenue a six racines dans un parallélogramme élémentaire. Dans le cas particulier ou (^ = w par exemple, l'équation en ii ne change pas quand on change « en ii -r- lo.

Remarque. — La cubique donnée peut être regardée comme la hessienne d'une autre cubique C et cela de trois manières différentes; les courbes de troisième classe qui viennent d'être définies sont les cayleyennes des trois cubiques G ( ').

ii. Si deux systèmes de trois droites ont huit de leurs neuf points d'intersection sur une cubique, le neuvième point d'intersection est aussi sur la cubique.

Cette proposition peut se vérifier directement à l'aide de la condition pour que trois points soient en ligne droite ; elle peut aussi se déduire d'un théorème démontré n° 62.

Si l'on appelle tangentiel d'un point m d'une cubique le point où la tangente en m rencontre encore la cubique, les tangentiels de trois points en ligne droite sont en ligne droite.

La droite qui joint deux points d'inflexion va passer par un troisième point d'inflexion ; on remarque qu'un point d'inflexion se confond avec son tangentiel.