Déterminer les points d'inflexion de la cubique
•^ = P "î r = p' II.
en étudiant la variation du coefficient angulaire de la tangente. On trouve ])Our les déterminer l'équation
p uji"'u — {p"iiy-=^ o,
ou en ])0sant x =^-pu, l'équation
f{x) = x'^--^g.,x^- — giX--^\^-g.j =0,
dont la dérivée est
Si gi et gz sont réels, cette équation a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées. Ces racines sont
(') ] oir Clebsch (Lindemanx), Leçons sur la Géométrie, t. II, p. 38i.
KXERCirES SIR LE CHAPITRE III. Io5
si on les désigne par a, Ij, c, cl elles vérifient l:i relation
aS =(a — b y- c — d )--\-( a — c){ a — d)( b — c)(b — cl )= o.
«lui s'obtient en a|)|)li(|uant les furniules (7) et (9) page G2 (S est un in\aliant tie l'équation ).
7. Ktant donnés trois j)oinls P, Q, R sur une cubique, déterminer un triangle ABC dont les sommets soient sur la courbe et dont les côté< passent respectivement par les points donnés P, Q, R.
Il y a quatre solutions. Si les trois points P, Q, R sont en ligne droite. les sommets de l'un des triangles sont en ligne droite : il reste seulement trois triangles proprement dits.
8. Si l'on considère une conique ayant deux fois un contact du deuxième ordre (trois points confondus) avec une cubique, la droite qui joint Ie« points de contact va passer par un point d'inflexion.
9. Si l'on considère lune des trois tangentes menées d'un point «l'iiitlexion le point de contact est tel qu'il existe une conique ayant en r<> point avec la cubique un contact du cinquième ordre (six points confondus;. Retrouver que le nombre de ces coniques est uj.
10. On mène la tangente à une cubique en un |)oint Pq; soit Pj le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On mène la tangente en P|, soit P-i le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On détermine ainsi une suite de points
Po, Pi, . . • , P/-5
dont chacun est le tangentiel du précédent. Trouver la condition pour que le contour ayant ces points pour sommets successifs se ferme et forme un polygone de r côtés.
On écrit la relation qui existe entre les paramètres de deux sommets consécutifs et l'on exprime que P^ coïncide avec Pq; on trouve que le paramètre de Pq doit satisfaire à la condition
mais il faut encore examiner si le polygone correspondant à une solution a bien r côtés.
Par exemple, pour /• = 3 on trouve parmi les solutions les tangentes d'inflexion comptées trois fois.
