I. — Généralités sur les fonctions uniformes

I . Fonction régulière en un point. Zéros. — Une fonction d'une variable imaginaire u ^ x -\- y i es\. à\le uniforme pour toutes les valeurs de u quand elle n'a qu'une valeur pour chaque valeur de u :

j)ar exemple -1 cosw, tang« sont des fonctions uniformes. On

dit aussi, en représentant la variable u ^ x -\-yi par le point d'un plan de coordonnées x el y, que la fonction est uniforme dans tout le plan. Nous ne nous occuperons que de fonctions de cette nature. Une fonction uniforme/(;/) est régulière en un point a quand on peut, dans un cercle avant ce point comme centre, la développer par la formule de Taylor en une série procédant suivant les puissances positives croissantes de u — a

ï \ /• j- X (u — a) iu — a )« ., , ■

(0 /^")=/^«)^ 1 — /'(rt)^-...-^-- — /(«)(«) + ....

Zéros. — Une ibnclion/(«) régulière au point u =: a admet ce point comme zéro quand fia) est nul : si f'{a) n'est pas nul le zéro est simple. Si un certain nombre de dérivées /'(«), /"(a), ... sont nulles, /^"'(«) étant la première dérivée non nulle, le zéro u^=a est d'ordre n : on peut alors écrire le développement ci-

a CHAPITRE I.

dessus

(2) /(ii) = {if-n)"ff(u),

où le lacleur i^{u) est une série enlière en (a — a) ne s'annulant pas pour u =: a.

12. Points singuliers. Pôles. Résidus. Points singuliers essentiels. — Lorsqu'une fonction uniforme /(u) n'est pas régulière en un point déterminé rt, on dit que ce point est un i^oml singulier. C'est un point singulier isolé quand on peut décrire de a comme centre un cercle assez petit pour que la fonction n'ait pas d'autre point singulier dans ce cercle.

Pôles. — Un point singulier a est un pôle quand il est isolé et (juand la fonction devient infinie en ce point à la façon d'une fraction rationnelle. Pour préciser, le point a est un pôle, quand la fonction /(if) devient infinie en ce point et qu'il existe une fraction rationnelle

'■{it)-'^{u)

telle cjue la différence

soit régulière au point «; les lettres A, A,, . . . , A^-i désignant des constantes. La fraction rationnelle o[ii) s'appelle la partie principale àe la fonction /(i<) relative au pôle a; le coefficient A

de est le résidu relatif à ce pôle : l'entier a est l'ordre ou

degré du pôle. On a alors, dans un certain cercle de centre «,

g{u) étant une fonction régulière au point a : on en conclut, en réduisant le second membre au même dénominateur [u — «)=',

{u — ay

(j{u) étant une fonction régulière au point a, différente de zéro pour u = a.

NOTIONS pn 1:1,1 M I \ \ 1 n i:s. 3

Nous dirons aussi (juc le point a csl un infini d'ordre a de la fonction.

Points singuliers essentiels. — Quand un point sinj:julior n'est pas isolé ou qu'étant isolé il n'est pas un pôle, on dit f(u'il est un |)oint singulier essentiel. IS'ous ne nous occupons dans la suite ([lie de fonctions dont les seuls points singuliers à distance finie sont des pôles.

3. Remarque sur les zéros et les pôles. — Si le point a est un zéro d ordre n de la loiicliony^i u), il est un pôle simple de résidu n dans la dérivée locaritlimique "-?- — -; en efTet, on a alors, dans le voisinage de u^= n.

puis en prenant les logarithmes et les dérivées

comme g\u) n est pas nul pour ;/, =: «, le rapport ' est une

fonction régulière au point a\ donc ce point est un pôle simple de résidu n (\q ^. — '—• De même, si le point «==:« est un pôle d'ordre a

de/(«), il est un pôle simple de résidu — a de ~ — -• On a en elFet, dans cette hypothèse, au voisinage de «,

{u — ayjd'où

fin) -g G'(m)^ f{u) Il — a G(«) '

comme G(«) ne s'annule pas pour u = a. -rr-, — - est une fonction régulière en a et le théorème est démontré.

4. Point à l'infini. — Pour étudier une fonction /(u) de u quand u devient très grand, on fait u = —, cl l'on suppose u' très petit. La fonction /(u) est dite régulière au point u = y:>

quand/(— , ) est régulière au poinl //'=o : on a alors, pour des valeurs très petites de u',

et par suite, pour des valeurs très grandes de u,

Lorsque la fonction est ainsi régulière au point co, le point oo est un zéro d'ordre n quand ao, a,, ..., a,i t sont nuls, a,i étant dififérent de zéro. La fonction s'annule alors à l'infini comme

Le point infini est un pôle ou un point singulier essentiel pour /{u) quand le point u' = o est un pôle ou un point essentiel pour

/(—,)' Supposons que ce soit un pôle : alors, par définition, on a

pour de petites valeurs de u'

./■ I \ A A, Ax,

'' \U / u U'^ Il -^

c'est-à-dire, pour de grandes valeurs de u,

f(u)= A«-i- Al «- — . . .^- A^-i u'^+ ao-i- «1 '- aî( —

La partie

(f (u ) = \ u -^ A i u- -^ . . . -r- Ajt-i u'^,

qui devient infinie au pôle u = x, est la partie principale relative à ce pôle, a est l'ordre du pôle.

5. Remarque sur la convergence des séries. — Nous pouvons maintenant préciser un point important dans ce qui précède. Nous avons dit que la fonclion^(«) uniforme dans tout le plan est régulière en a quand elle est développable par la formule de Tajlor dans un cercle de centre a : cette série sera coîivergente dans le cercle ayant pour centre a et pour rayon la distance du point a au point singulier def{u) le plus rapproché de a.