I. — Fonctions di-: J.vcobi

09. Objet du Chapitre. — Les séries el produils à double entrée employés pour définir les éléments d, u, p, Z, H à l'aide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques, peuvent être remplacés, aussi bien dans la notation de M. Weierstrass que dans celle de Jacobi, par des séries à simple entrée beaucoup plus rajiidement convergentes.

Nous allons exposer ici les notations de Jacobi : nous avons d'ailleurs montré comment on passe d'un système de notations à l'autre, en donnant la relation entre les fonctions H et i (n" 40).

70. Périodes. — ?sous avons déjà dit que le rapport — des deux

périodes doit être imaginaire, sans quoi le réseau des parallélogrammes n'existerait pas. On |)eut toujours changer le signe de to ou de w', car une fonction admettant pour périodes 2<x) et 2oj' admet aussi pour périodes — ato et 2 to' par exemple. Nous pouvons donc choisir les signes des périodes de façon que dans le

rapport— le coefficient de i soit positif; c'est là ce que nous

supposerons toujours. Jacobi désigne les périodes par 2K et 2/K';

K' dans le cas particulier où R et R' sont réels, le rapport -n- doit

être positif. Nous pourrons employer tantôt l'une tantôt l'autre manière de désigner les périodes : on se rappellera que

0) = K, to' = /K'.

Si, dans le cas général, on pose

TZiii'i — K'

KTIDE SPKCI.VI.K I»ES NOTATIONS DR JACOni. lOJ

le nombre q a un module /:>/w5 /jc/// que l'unité, car la partie réelle de 1 exposant est négative.

71 . Développement en série simple de la fonction Z u. Valeur de '.. — La fonction

construite, comme nous l'avons expliqué, avec les périodes aw

et 210', a pour pôles simples de résidu -\- \ tous les points

où m et n prennent toutes les valeurs entières positives, négatives et nulles.

Nous allons construire celle fonction dune autre manière, en formant, à l'aide d'une série de cotangentes, une fonction ayant les mêmes pôles et les mêmes résidus que Z. Le point de départ de la méthode réside dans ce fait que la fonction

— ^ COt — ^ (// — 2/? tu')-t- COIlSt.,

•i to a W

OÙ 11 est un entier déterminé, a pour pôles simples de résidu -\-\

tous les points

// — in (.<)' = "2 ni oj, OU

u = •> Wtu -4- .i/ito', (/« = G, ± I , ± 2, . . ., ± Xj.

Considérons la fonction

U„ = -^ col -^ ( // — 2 /t m' ) — / ,

où n désigne un entier positif; elle admet comme pôles simples, avec le résidu + 1, tous les points

u = in w' -I- 2 /« (0 ( /?i = o, ± I , ± 2, . . . ) •

Cette fonction peut s'écrire

cos — (u — •>. n v) ) — j si n — (u — ■> n 10 ) ,. - 20J ■>. (O U«= »

sm — iit — m M )

io8 en A PI tri: IV.

OU en inlrodiiisanl la quanlilc (j = e "^ ,

mil U'//

fl) ,^ — « /J 2 (l) y-/ /J

Celle forme de U« montre que la série

est convergente, à la façon d'une progression géométrique dont la raison serait q'-.

Considérons de même, en supposant maintenant n entier et nc-galif, la fonction

\ n — -^ cni -^ ( » — i. n w' ) -^ n

'- tu L '-4 ^'i J

elle admet comme pôles, avec le résidu + i , tous les points u = 2ntM' -^ i/naj. /« = o , ih i , d: 2 , . . . :

on peut l'écrire

et Ion voit que la série

11) ri — -2n.

est convergente.

Nous allons vérifier cpie la fonction

<!>(?<)= -^ cot -" — > -^ cot-^(ii — mco')— M aw 2 tu .i^ 2tJ L '^^^ J

-f- 7 -^ rol-^(?f — 2naj')-f-M

«=- 1 est identique à Z.(u).

D'abord cette fonction ^{u) est impaire comme Z(u)', on le vérifie immédiatement en écrivant la série qui donne <!>( — n) : cette série est égale à — <ï>(?f). La fonction ^{u) a les mêmes pôles et

KTl DK 81'i:t;lALE DKS NOTATIONS I) IC JACOIII. loy

les niènics l'ésidiis que 7j[u). Elle satisfait aux relations

«!>(// -f- ■>. (o) — 'V( II),

La première de ces relations est évidente, car chaque cotangenle admet la période a to ; la deuxième se trouve en formant la différence

'!>( H -^ aw')— <I»(» )

el remarquant que, dans la dilférence des deux séries, les termes se dél misent deux à deux sauf deux termes '" • (îonsidérons alors la fonction

dette fonction est régulière en tous les points à distance finie, car, dans le voisinage d'un point

Zyu):

Il = î m (o -+- ■> Il M ,

- -i- fonction régulière,

fonction régulière,

Il — v>. m Lu — '2. n w

u — 2 ni co — a n lo

el, en retranchant, on voit que ^'(//) est régulière au point considéré. En outre, d'après les relations que vérifient <!>(//) el 7^[u),

on a

^'{ a -h -hd) = W(ii ),

W(u -+- -MU )= W(u) ^ u — .

ICii répétant un raisonnement qui a déjà été fait (n" l2i) on voit (pie la fonction H'(;/) est une constante et de plus que l'on a

Ainî

'!>('«)= Z{ii)-i- consl.

Cctle constante est nulle puisque *I^(^/) et 7j(f/) sont impaires toutes les deux.

no CHAPITRi: IV.

lui cK'lînilivc, on a obtcmi pour Z,(//) le développement