II. — Fonctions snî<, en h, (\x\it

83. Définitions. — Si l'on compare les multiplicateurs des fonctions H(«) q,iQ{u) qui correspondent à la période aK, puis à la période 2/ K', on voit que les premiers sont égaux et de signe contraire, les derniers égaux et de même signe; il en résulte que

le quotient — — ■ admet pour les mômes périodes les multipli-

cateurs — i et + i .

Jacobi a été conduit à considérer les quotients des fonctions H, H|, 0, par la fonction 0. Posons

sn u = A en « = B

dn » = C

Hi(«)

KTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOni. rz7

(On lit les premiers membres s, //, ii puis c, n, a puis enfin f/, /i, ff en énonçant successivement les trois lettres.) Déterminons les facteurs constants A, B, C, de manière que les trois fonctions prennent la valeur i la première pour a = K, les deux autres pour ;/ 1= o; nous aurons les éjjalités suivantes de définition

I Wiin sn « = —= -— — .

/T-, 0i(") /T^ «-HO)

La fonction sx\u est seule impaire, les deux autres sont paires sn( — «) = — sn«, cn( — u) = cnu, tln( — ti) = (Jn«.

Cela résulte de ce que H(«^) seule est im[)aire, n" 7i.

8i. Addition d'une période ou d'une demi-période. — Les formules relatives aux fondions H, 1I|, (-), (")| donnent immédiatement

sn(M -t- '.îK) = — sn i<, ?n (;<-+- 9. iK') = sn//, cn{u -T- iK) = — en », cii(/< -*- 2f K') = — clw^

pui

dnf«-+-2K)= dn;/, (\n { u -¥■ 1 i ¥J ) = — dlw^

criK , ., , I

' dn II Icanu

— /t'srw/ , .,., dnu

cil ( « + K ) = j , en ( a -t- i K ) = —

^ dn« iksnu

k' .,-, cn«

dn ( ?< -4- K j = -j 7 dn ( » 4- i K ) = ^-; ,

(In a

.,,, (\nu

sn(« -i- K -+- /K )

cn(« -T- K -i- f K') = dn(« -f- K -T- i\\' } =

k cnu

ik en u

ik' «n u

en u

<So. Construction, à l'aide des fonctions sn, en, dn des fonctions elliptiques aux périodes ^oj et 20/ ou 2K et 2iK'. — Les fonctions sn^/, ciu/, du;/ n'admettent pas les deux périodes 2R et at'K'; par

ii8 ciiM'iTui: IV.

exemple snu change de signe quanti // augmente de 2K. iNIais il est aisé de construire avec ces fonctions des fonctions elliptiques admettant ces deux périodes : telles sont, par exemple, les deux

fonctions

sn- II, su II en ti (lu 11,

et, en général, toute fonction rationnelle de ces deux fonctions.

Inversement, nous verrons plus loin que toute fonction elliptique aux périodes 2K et 2/K' peut s'exprimer rationnellement à l'aide de ces deux fonctions.

Avec les fonctions de Jacobi on peut donc, tout comme avec les fonctions p et p', construire toutes les fonctions elliptiques aux périodes 2K et :iiK'.

<S6. Périodicité; zéros; pôles des fonctions sn, en, tin. — Les périodes des trois fonctions se déduisent immédiatement des relations (i)

snu admet les deux période» 4 K et 2? K',

en K » » ( K et i K -f- :i iK',

dnu » » 2 K et 4 i^'-

Les zéros de ces fonctions sont respectivement ceux de H (m), Hi («), ^i(if) à savoir

Zéros de sn ?/ imK -r-'i niK',

» c\\ n ( 1 /n -h i ) K -i- -i /li K' ,

» i\i\ Il ( -2 />i -f- 1 ; k -r- (^ 2 /i -T- 1 ) / K' :

ce sont tous des zéros simples.

Les pôles des trois fonctions sont les mêmes : ce sont les zéros du dénominateur commun 0(«).

Pôles de sn «, ci\u et dnii... imK -\- [in -\- i)iK'.

Ces pôles sont simples.

Si l'on construit le réseau tles parallélogrammes avant ])our sommets les points

«o-i- 2/« K -t- i/iiK',

chacune des trois fonctions a un ptiic et un zéro dans chaciue [)arallélogramme.

ÉTVDK SP^CIAI.i; DES NOTATIONS D K JACOUI. 129

87. Formule d'addition préliminaire. — Nous obtiendrons iinmédialcmcnL les ionnules cjue nous a\ons en vue, en appli- (juant les théorèmes géqéraux, sur les fonctions elliptiques, précédemment établis.

Considérons les deux fonctions

(5) snusn{u — a), onKcn(« — a) — en a,

OÙ a désigne une constante. Ces deux fonctions sont doublement périodiques aux périodes 2K et 2i¥J. Elles sont chacune du second ordre, car elles admettent dans un parallélogramme des périodes deux pôles simples, à savoir les zéros du produit

dont chaque facteur a un seul zéro dans un parallélogramme. Les fonctions (5) ont donc dans un parallélogramme des périodes deux zéros : ces deux zéros s'aperçoivent immédiatement; ce sont les points homologues de a = o, et a =:ol. En effet, chacune des deux fonctions s'annule pour ces valeurs de u.

Les deux fonctions doublement périodiques (5) ayant mêmes zéros et mêmes infinis ne différent que par un lacteur constant; on a donc

en u cr\(u — a) — cna = A snu sn(« — a),

A désignant un facteur constant. Ce facteur se détermine en faisant // = K ; il vient alors

» cna — cna = A-i — ) A= — dria.

an a

En remplaçant A par cette valeur dans l'identité précédente, on obtient la formule suivante d'où nous déduirons toutes les autres formules d'addition

(G) cna = cn« cn(« — ol) -\- snu sn{u — a) dna.

88. Relations entre les fonctions sn//, en//, du//. — En faisant, dans la formule ci-dessus (6), a = o, on trouve

sn^ u -+- en- u = i.

Dans cette formule remplaçons 1/ par a -i- iK'. En tenant compte A ET L. 9

IJO CHAPITRE IV.

des égalités

sn(u-\- lis. ) = -j , en ( « -f- i k ) = -. ,

A" su u ik sn u

il vient

I dnî//

k-sn^ii k- in'-u ' OU enfin

(ln'-« -4- k'^ sin^j/ = i.

Ainsi deux des trois fonctions sn-w, cn-</, dn-// peuvent s'exprimer linéairement en fonction de la troisième. On a, par

exemple,

ci\'U = I — sn-H,

dn2« = 1 — A-2 sn2«.