NOTIONS PIU;M M 1 N A I R ES

C'est là une proposition que nous admettrons pour ne pas allonger ce Chapitre.

G. Une fonction uniforme régulière en tous les points à distance finie et infinie est une constante. — En elFet, la fonction supposée f{n) étant régulière au point u =^ o est développable en une série

f(u)= rto -4- './ 1 II -T- «2 u'--h. . .,

convergente dans le cercle ayant l'origine comme centre et passant par le point singulier le plus rapproché de l'origine; comme, par hypothèse, il n'y a pas de points singuliers, cette série est convergente dans tout le plan. Pour étudier la fonction dans le voisinage du j)ointx, posons u = — ,; alors

Par hypothèse cette fonction est régulière au point u'= o : elle ne doit donc pas contenir dans son développement de puissances négatiçes de u' : donc tous les coefficients rt,, «o, . . ., <7«, . . . sont nuls, sauf le premier «„, et l'on a

La fonction est une constante.

On peut énoncer ce résultat sous une autre forme, en disant qu'w/ze fonction uniforme partout finie (le point ce compris) est une constante. En ellet, une fonction uniforme devient infinie en chacun de ses pôles; on peut en outre démontrer rigoureusement que, si la variable u tend vers un point singulier essentiel de la fonction suivant une loi convenablement choisie, le module de la fonction croît au delà de toute limite. Si donc une fonction uniforme est partout finie, elle ne peut pas avoir de points singuliers, elle est régulière partout et se réduit à une constante.

7. Les zéros et les pôles d'une fonction uniforme, n'ayant d'autres singularités que des pôles à distance finie, sont nécessairement isolés les uns des autres. — jNous voulons dire par là qu'il ne peut pas exister de point a du plan dans le voisinage immédiat duquel il

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so trouve une infinité de pôles ou une infinité de zéros; ou encore, quel que soit le point rt, on peut toujours décrire de a comme centre un cercle avec un rayon assez petit pour que dans ce cercle il V ait : ou bien ni zéro ni pôle, ou bien un seul zéro sans pôle, ou bien un seul pôle sans zéro.

Ce fait résulte immédiatement des développements précédents. En elTet, un point a étant marqué dans le plan, trois cas peuvent se présenter suivant que /(m) est régulière en a sans s'annuler en ce point, ou que /(m) admet le point a pour zéro, ou enfin que fUi) admet le point a pour pôle. Dans le premier cas, on peut décrire de a comme centre un cercle suffisamment petit pour qu'il n'y ait dans ce cercle ni zéro ni pôle; dans le second, on peut décrire un cercle suffisamment petit pour qu'il ne contienne pas de pôle et contienne le seul zéro « = «; dans le troisième, on peut décrire un cercle ne contenant pas de zéro et contenant le seul pôle a.

D'après cela, si pour une fonction unifoi-me il existe un point a tel que, dans une aire aussi petite que l'on veut, entourant ce point, il existe soit une infinité de pôles soit nne infinité de zéros, ce point est point singulier essentiel. En effet, la fonction n'est pas régulière en a\ ce point est donc un point singulier. Il n'est pas un pôle, d'après ce que nous venons de voir; il est donc un point essentiel.

Nous allons, dans les deux paragraphes suivants, traiter, comme exemples, les fonctions rationnelles et les fonctions trigonométriques.