Module. Module complémentaire. — Dans la relation

dn-« 4- k- sn- « = i, faisons ?/ = R ; on a d'abord snR = i , puis la relation

cl n ( H -1- K ) = T-— un u

donne dnK = /.' et l'on est conduit à cette conséquence

le nombre A" s'appelle le module, le nombre /.' module complémentaire.

90. Formules d'addition pour sn u et en u. — Dans la formule (6) posons a = — v ])uis, dans le résultat ainsi obtenu, échangeons c et u ; nous trouvons

i en u en ( m -h c ) + sn u dn i' sn (?/-}- t" ) = en p, I cni^ cn(a 4- i')-{- snt> dnji sn(«-+- t') = en«/.

Ces deux égalités vont nous donner sn ( m + (^) et en (« + f) exprimés à l'aide de fonctions dont l'argument est u ou r. En les résolvant par rapport à sn[u -\- v), il vient

cn-ii — en^t»

(8) sn(ii-t-r) =

sn f en M dn u — sn a en (^ dn t"

i; T U D E SPECIALE DES NOTATIONS DE J A C 0 B I . l'i r

On a ainsi une formule d'addition algébrique pour la fonction sn u. On l'écrit ordinairement sous une autre forme. Dans le second membre le numérateur s'obtient de suite en fonction de sn« et de snr en remplaçant en- it et cn-r par i — sn'-;/ cl i — sn^r; le dénominateur est une fonction irrationnelle de ces mêmes quantités. Si nous multiplions les deux termes par la quantité conjuguée du dénominateur, nous trouvons

(sn^r — sn-«) jsnrcn » fin « -1- sn « cnrdnr!

sn ( Il -r- r ) = ■ •

sn- V cn^ u (\n^ u — sn^K cn^c dn^r

Le dénominateur est une fonction entière de sn-w et sn-r qui s'annule pour // = c; 11 doit donc contenir en facteur sn- // — sn- c. On a en efl'et

sn-t^' cn^u dn-« — sn^ wcn-r àn^v — (sn-r — sn2f/)(i — /i^sn^ u sn^c);

alors le facteur sn- c — sn- u disparaît et il reste

sn u en (' tin (' -f- sn r en u dn u

(9) sn(«-+-r):

I — A:2 sn-jf sn'^r

On obtient de même cn(« + r), en éliminant sn(w + v) entre les deux équations ( j). Effectuons le calcul : nous trouvons successivement

sn p en p dn M — sn u en m dn f

cn{a -~v) =

%nv en u dntt — sn u en r dn v '

j snt-cnt^dn » — sn jfcnwdnp j j snf cnw dn«-i-snM cn(^ dni^j %n-v cn-ii dn^M — sn^ii en-c dn^f

Dans le second membre le numérateur développé est

! sn'i' dn-« — sn- M dn-t»! en « enc — sn «f snt' dn m dn i'(en- « — cn^p),

(sn^p — sn^i/) en M en p — sn{< sni^ dn ?/ dnr j ;

le dénominateur, on l'a vu, peut s'écrire

(sn^p — sn2 u){\ — k- sn- u sn^c).

On a donc enfin

en M en p — snu snt» dn m dnt^ (10) cn(M-f-v)= —

l3-2 CHAPITRE IV.

Formules d'addition pour ànu. — La formule (6) cna = en u en {il — a)-i-snHsn(« — a)(lna tlevienl, en posant a = // H- r,

cn(» -f- f) = en ;/ cnv — ?,nii snr cln(« -i- ^')•

Cette relation donne tln(« 4- r) en fonction de cn(« + t) : en y remplaçant cn(// + v) par l'expression (lo) que nous venons de trouver, elle donne, après des réductions évidentes,

, , , , , d n î< d n i' — k"^ sn u ?,nv cnucnv

(il) ûn(u-\-v)= r- —

I — A"- sn-u %n-v

On a ainsi les formules d'addition pour les trois fonctions sn, en, dn.

Autres formules. — Changeant dans ces formules v en — c. on en déduit les expressions de sn(« — v), en (m — f ), dn(;/ — i). On a, par exemple,

«n u en V dn v — sn p en // ànu sniu — v)= 7- :

d'oij, en retranchant de sn(w -|- ç'),

i?,nv cnudinu

(12) sn(a-i-t') — sn(« — p)= j- ; -,

I — /l- sn^w ?,n-v

formule qui va nous servir à trouver la dérivée de snu.

91. Dérivées des fonctions snz/, en^^, ànu. Multiplicateur. — Pour avoir la dérivée de sn?/, il faut chercher la limite de

sn(?/-i-A) — sn?f , ^ i » r i

— j- pour h^o. Four cela transiormons le numérateur comme on le fait dans la recherche de la dérivée du sinus, en nous servant de la formule (12). Dans cette formule rempla-

çons u par ^^ -h - et c^ par -, cela donne

, , sn - en a H ) an ( m

sn («-;-/? ) — ^nii 1 ^

— 1 — k- sn- — sn- [ u -\

KTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l33

Appelons g la liniilc du rappiMl — - quand ii Iciid vers zéro :

// sn -

alors --— tend vers g^ cl on trouve, pour h = o,

d snu ,

— j — = i,' en II (lu II.

Le nombre g se nomme niulliplicaleur.

92. Expression du multiplicateur en fonction des périodes. Choix de périodes ).K et >.i\\.' telles que le multiplicateur soit égal à

l'unité. — Nous avons à chercher la limite de quand u tend

vers zéro. D'après la définition de sn;/, on a

H(«) sn u 61(0) u u " H,(oj H(a; '

et nous sommes ramenés à chercher la limite de ; celte limite

peut se déterminer à l'aide du produit simplement infini qui représente H(«); elle est égale à H'(o) et nous avons démontré (n" 79) la relation

^II'(o)= 11,(0)0(0)61(0).

L'expression de g^ savoir

0,(0) II'(o)

se simplifie, si l'on remplace H'(o) par sa valeur tirée de la relation que nous venons de rappeler : g est alors donné par l'égalité

^ = euo).

Jusqu'ici les périodes 2K et a/K' ont été prises arbitrairement et avec le même degré de généralité que 20) et ato'. Dans ce qui suit, à moins de spécifier le contraire, nous supposerons K et R' choisis de façon que g soit égal à i, c'est-à-dire nous sup-

l34 CHAPITRE IV.

poserons remplie la condilion

ZaK 4/—- =z Bi{o)= l -T- Q.q -T- iq'^-r-iq^-t-

En tenant eompte de cette condilion, g = i, l'équation qui donne la dérivée de sn ;^ devient

-7- snu = en II an 11.

Ainsi, à l'avenir, K et ¥J ne seront plus des quantités indépendantes : elles seront assujetties à vérifier la condilion ci-dessus.

93. Dérivées successives. — En dilTérentiant les expressions de en-;/, dn-;/, savoir

cn^u = I — sn- u, dn- u = \ — k- sn-u,

on trouvera les dérivées de en m, dn?/.

Les dérivées des trois fonctions sont données par les formules

-;— (sn m)= en u dn u, du

-j-(cn u ) = — snu dn u, du

-r- (dn «) = — A-^ snu en u.

On peut aisément, en partant de ces formules, calculer les dérivées successives de l'une des trois fonctions. On trouvera par exemple, pour les dérivées de snu, des expressions de la forme

(snu) = (a(, -i- tti sn-u -^ cii sn'* u -h . . . -h a p sn^Pu) cnu dnu,

du^P^^ d^P du'^P

les coefficients étant des fonctions entières de k

— (sn?i) = (Ao-;- Al sn-u -i- A, sn'u -h. . .-l- \pSn-P u)snu,

91. Développements en séries entières. — En appliquant la formule de Maclaurin aux trois fonctions sn m, en u, dn u et en faisant

a =3 - (A" + T )' on trouve

cnu = I — — -l-(i-4- \k-) '^-—-; — (H- 44/^--+- 'GA"^) — - — r — ...,

• In// = I ;-A2(4-+-A2) T-7 — A2(ib-+-4iA2-+-A'») 77-+-...,

et l'on démontre que ces développements sont valables quand le module de // est moindre que la distance de l'origine à celui des zéros de ^{if) qui en est le plus rapproché. On voit qu'en négligeant u\ cnu peut être remplacé par cosu et dnw par cosAm; de plus, en négligeant u'', on peut remplacer snu par

sinw/i -h k-

v/i-hA2

Do. Dérivées des fonctions inverses. Première idée de l'inversion à l'aide des fonctions de Jacobi. — De môme qu'en Trigonométrie les dérivées de sin ?^ et cosm conduisent à celles des fonctions inverses arcsinj: et arccosj?, les résultats précédents nous lournissent les dérivées des fonctions inverses de snu, cnu, dnu.

Soit par exemple

(iS) a; = sn // ;

celte équation résolue par rapport à u donne, pour u, deux valeurs dans un parallélogramme construit avec les périodes 4^ et -tiR', car snu est une fonction elliptique admettant ces deux périodes et admettant deux pôles simples dans ce parallélogramme. L'une de ces valeurs étant appelée u, l'autre est 2K — w, car

sn(2K — «) = sn //,.

Les racines de l'équation (i3) forment donc une double suite de valeurs

u -+• 4 ni K -T- 2 rtt K', ■). K — u -{- ^niK -h 2 niK',

m et n désignant des entiers.

Nous appellerons plus spécialement u celle de ces valeurs qui,

i3G niAPiTRi: iv,

suivie par continuilé. s'annule avec x el nous l'appellerons

(i4) ?/ = arg sn.r

(l'égalilé précédente s'énonce : u égale argument sn^). Nous voulons calculer -y-- Or (i3) donne

Donc

— ^ = en u (lu n = i/( 1 — ^- ) ( 1 — k- x''- ). du

du dx

Telle est la dérivée de argsno:; elle est algébrique comme celle de arcsin^r. Comme u et x s'annulent en même temps, l'équalion (i5) donne par l'intégration

(lO;

Inversement, si l'on est en présence d'une équation de cette forme, on en conclura

?/ = argsna", x^=^x\u.

C'est ce qu'on appelle faire l'inversion de l'intégrale (i6). On trouve de même

d arg rn.r i

d ar<ï Anx i

=tv/(i — ^-K^-— '^■'^)

L'intégrale (i 6) est appelée une intégrale elliptique de première espèce, sous la forme normale de Legendre.

96. Dégénérescence. — Les fonctions sn, en, dn se réduisent à des fonctions circulaires ou exponentielles lorsque A- est égal à o ou à I .

1° Â-^ o. L'équation (iG) devient alors

KTIDK SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l37

la fonclion jr = snit devient donc .r = sin//. Les fonctions

ciw/ = y/i — in- II, (Iii II = ^i — /i-sii'^ Il

devienncnl

cii« = cos«, cln« = i.

On penl vt-rificr fjiralors les formules d'addition (9) et (10) se réduisent aux formules donnant sin(/^ + c), cos(// 4- <')• 2" /-- = I . Alors on a d'après (16)

d'où

dx I , 1

qU e — "

sn u =

i>ll -i- /> — U

I — in-ii =

97. Relation entre pu et snu. — La fonction snii que nous voulons comparer à pu est celle dont le multiplicateur est égal à l' unité, de sorte que, si l'on pose

; satisfait à l'équation difTérenlielle

Alors les périodes ->. K et ii¥J de la fonction sn^w ne sont pas arbitraires. Elles doivent satisfaire à la condition

Au contraire les périodes 2oi et v. to' de jdm sont prises arbitrairement. (On suppose seulement que dans le rapport-:— la partie réelle est positive. ]

Considérons la fonction sn^ - où ). est une constante; cette fonclion admet comme périodes 2KA et ai'K'À. On peut déter-

l38 CHAPITRE IV,

miner \, K, K' de façon que les périodes de sn^ ^r- aient des valeurs données à l'avance 2co et 2(o'. Si ron prend

K iui

la quantité 7 est connue et la relation entre K et K' déterminera K. Au mojcn de l'indéterminée ). on pourra satisfaire à la condition

o. K X = 2 CO

et, en se reportant à la valeur de jr-, on trouvera

2jK'X = 2W',

Prenons alors la fonction pu construite avec les deux périodes 2(0 et 2 co', et comparons-la à ? qui admet les mêmes périodes.

Dans un parallélogramme de périodes contenant le point o, ces deux fonctions ont un seul pôle, le point u:^o^ qui est un pôle double. On a, de plus, quand u tend vers zéro,

hmu^pu = i, uni ■ — = i.

X2sn2-

Les deux fonctions ont donc même partie principale dans le voisinage de a ^= o et la différence

k- sn- —

est une fonction doublement périodique aux périodes 2to, 210' qui reste finie dans un parallélogramme des périodes. Elle se réduit donc à une constante C et l'on a

Pour déterminer la constante C, développons en série le premier

membre dans le voisinage de u = o. On a (n° 9i)

sn u ^= u : — «•• -H . . . ,

Il I I I -f- A2

= — = 1 1- au- -+-.-.

sn^M «2 / H-A2 , \2 «2 3 — ti--\-.

et, d'autre part, Donc

pu = —, -^ -4^ «2 , .

Faisant « = o, on a G = — ' .^ > d'où la relation cherchée

On sait quey = J3?/ satisfait à l'équation différentielle

avec les conditions

ei = pco, e, = p(aj -t- co'), 63= pw'.

Calculons c^, e-2, <?3 en fonction de /.- et de).; pour ii = co, r- = K, snK = I,

ei = —

pour « =: oj', y =.- i'K', sn(fK') = oo

^'- 3X^' pour « = OJ H- to', Y =: Iv -r- « K', sn ( Y j = ,

l4o ClIAPITRK IV.

Après des réductions évidentes, on trouve les égalités

AV, = , l-C.2= ;. -,

Cl on en déduit

t'i— ^3 ey—e3 €1—63

Dans le cas particulier où l'on considère la fonction pu construite avec les périodes 2K et r>/K.' elles-mêmes, on a À = i et la relation entre p et sn devient

pu = — , --(A-2+i).

98. Théorème. — Toute fonction elliptique aux périodes 2K et 2;K' est une fonction rationnelle de six- u et de sa dérivée 1 sn u cnu ânu.

En effet nous avons démontré (n" 49) que toute fonction elliptique est une fonction rationnelle de pu elp'u. Comme la relation ci-dessus donne

, 2 sn u cnu dnu

on voit que la fonction considérée, exprimée rationnellement en pu el p'u, se transforme immédiatement en une fonction rationnelle de sn- u et de sa dérivée.

Si Ton considère en général une fonction elliptique avec des périodes quelconques 20) et 2(0', elle est une fonction rationnelle

de pu el p'u, c'est-à-dire de sn-y et de sa dérivée.

99. Développements dev, et der/en série. — Pour avoir un développement de 7, en série, nous partirons de la relation entre lu et Zu démontrée Chapitre II, n° 21 [équation (19)] et que nous récrivons ici

- u = tu — Zu. œ

En prenant les dérivées des deux membres et en faisant ensuite

ETUDE SPECIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. ijl

a = to', nous trouvons

— = — pu — Lu, puis

Z'(o' peut s'oblcnir en faisant 1/ = o clans

Z'( M -t- oj ) = -.- - -; --^ = __i — .

' f/K LH(ff-t- w') J ^« [ec«)J

Or, du développement en produit infini de B(«) obtenu au n° 78, savoir

%{u) — k(\ — iq COS-^ H- (72 j( I — 'içS cos -^^ h (/M. . .,

on déduit successivement

— sin '

' I — 27 ces h 72 j — 27^005 ^q^

-r- ^ . ' = P sin

f/a 6(«) to

)2 Tt^ 7: «

— - cos — , to- to

P désignant une fonction de u qui reste finie pour u = o. Donc et, par suite,

to' ^

^ qn

-l([-ry'02

Pour avoir le développement de r/, dans l'égalité précédente,

remplaçons co et to' par to' et — to ; ^ = e devient (^q^ <? '^ ; de j)lus e-i = p(w') devient e^ = ,p(to), et nous obtenons

100. Exemples de décomposition en éléments simples et d'intégration. — i" l'rcnons dabord la lonclion

sn*« — sn^a

où a est une constanle qui n'est pas de la forme ft/«R + '2ni¥J . Cette fonction est du second ordre; elle admet, dans un parallélogramme des périodes aK et a/K', deux pôles simples homologues respectivement des points + a et — «.Le résidu A relatif au pôle

// = a est

A = lim— -— ,

sn^M — sn^a

pour 11^^ a. La limite de ce rapport s'obtient immédiatement en prenant la limite du rapport des dérivées

2 snrt cna du a

Le résidu relatif à l'autre pôle // = — a est — A. On a donc, en appelant B une constante,

/(aj= AZ(?/ — a)— AZ(?<-ha)-f-B,

ou, en remplaçant A par sa valeur, 2 sna cn« dno

sn2» — sn^rt

C désignant une autre constante. Nous déterminons C en faisant // = o, ce qui donne

2 en a dn o

Cette valeur de C se simplifie si l'on se reporte à la définition

de SD «,

I H(a) sn« = -- ■„ , . > s/k »(«)

qui donne, en prenant les dérivées logarithmiques des deux

membres,

-Tir7r- = ^(")-ë(]ô'

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l43

on a donc en changeant // en (/

e(a) d'où la formule définilive