n or en rt tin a Q'(a

(i8) — =7Ju — o)—Z(ii ^a)-h 9.--—r-

Celle même formule s'obliendrail en regardanl le premier membre comme une fonction de a et le décomposanl en élémenls simples.

En inlrgranl les deux membres par rapport à //, on a

/2 snrt cna dn« , , II(;/ — a) B (a) ; — du = J.os rr: 'r- iii ^-j — sn^u — su- a °H(«-f <■/; ©(«)

-^ const.

De même en intégrant les deux membres de la formule (i8) |)ar rapport à a et remarquant que i^snc/cnadnrt est la dérivée de sn-a, on a

Log(sn2rt — ^11^- u) = Lo^U{a — a ) -h LosU{a ^ u) — i Loge(a)-^ LogC,

désignant une i On en conclut

C désignant une constante relativement à a

\\(a — u)\\(a — u) in- a — sn2« = C ;

e-(a) cl, en faisant « = o,

D'où la formule définitive

02(0) Wia — «) II(a — u)

sn*a — sn^H =

/. e2(a)e2(iO

mettant en évidence les zéros et les pôles du premier membre.

2° Proposons-nous maintenant de décomposer en éléments simples la fonction

sn^w

qui admet, dans un parallélogramme des périodes, un pôle double homologue du point i/ = o. Comme, dans le domaine du point

i44 ciiAPiTni: iv. — ÉrroE spéciale des notations de jacobi. //=zo, on a

fonction régulière,

sn-« u-

on aura

sn2«

1) désignant une constanle que nous allons déterminer. Auparavant, nous changerons dans la formule (19) u en // + iK', en nous rappelant les relations suivantes

sn(a-\-i K' ) = -, >

k sn u

H(u-h iK')= ie~4i:'-"'^' *0(„), dont la seconde donne, en prenant les dérivées logarithmiques,

z(„ + .-K')=--iîî + :^,