Démontrer la formule de décomposition en éléments simples

A^snacnadnasn^;/ 0'(<7) i VQ'(u — a) Q'{u-\-a)'^

Le(« — rt) ~ ë(«-i-a)J

i — A"-sn2asn2^i ©(«)

Cette formule peut se déduire de celle du n" 100 en y remplaçant u par Il -r- iK' .

A. Vérifier que l'on a

— A / sn u du = Lo g ( dn « -4- A en a ).

Montrer qu'on peut de même déterminer les constantes a, b, a', b' de façon que

a I en u du = Log(sna -i- a' dna),

b j dnu du = Log(cn u -+- b' sn w).

Il suffit de différentier et d'identifier.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV. i^y

:;. Un cas particulier des surfaces minima. — Un exercice intéressant pour appliquer la tlillV-rentialion dos fonctions elliptiques consiste à vérifier que la surface découverte par Schwarz (Gesaminellc inalhetnatische Abliandlungen, vol. I, p. 77)

en J7 -H cn^' -1- en;; -t- cna? cn^ cn^ = o,

avec le module k— -, est une surface minimum dont la courbure totale

en chaque point est nulle, satisfaisant, par conséquent, à la condition ( [ -f- q-)r — o.pr/s -i- (l -h p-) t = o, ■

p, (j, /•, s^ t ayant leurs significations ordinaires de dérivées partielles de z par rapport à x, y. Schwarz montre que cette condition équivaut à la suivante

1 I (} + n^-)r—'2pqs^(i-^p^)t , /t)X c)Y\

pi p-2 1 -r-/>^-f- <7^ ' ^ \0x dy }

P) et p-2 sont les rayons de courbure principaux de la surface, et l'on pose

Le lecteur trouvera le détail du calcul de vérification dans l'Ouvrage de Greenhill sur les Fonctions elliptiques, p. 35; Carré, 1895.

G. Démontrer les relations

02(0) B.{u-^a) H(« — a)= %-^{a)W-{u)— ÏV-{a) e'-{u),

e2(o) e(K-t-a) e(ii — aj = 02(a) e2(iO— H2(a) H2(iO,

= ei(a) 6\(u}-Hl(a)n](u), 02(0) e(u-ha) ©(« — «) = 02(a) 02(M)-f-H2(a)H2(M), H2(o)H,(M + a)Hj(« — «) = 0f(a)02(K)— 02(a) 02(m),

Hi(o)0,(a)0i(iOHi(« — a) — 0i(o) n,(a) Hi(îO 0i(m — « ) = 0(o)H(a)H(a)0(« — aj,

Ui(a) ê(a) Uii u) e{u) ^ li( a) ei(a) U(u) 61(11) = 0(o)Hi(o)Hi(K — rt)0(a-i-«).

Il suffit de vérifier que, dans chacune de ces formules, le quotient d'un des membres par l'autre est une fonction de u admettant les périodes 2K et 2tK' et restant finie quel que soit u. Ce quotient est alors une constante que l'on détermine en donnant à u une valeur particulière.

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE snii, cnu, dn ». QUAND K ET K' SONT RÉELS. APPLICATIONS.

Nous nous proposons, en vue des applications, de faire, pour les fonctions de Jacobi, une étude analogue à celle que nous avons faite pour pu dans le Chapitre ITI. Nous supposerons, comme

dans ce Chapitre, que (o et — sont réels, ce qui revient à supposer K et K' réels.