Argument réel. — Considérons d'abord la fonction

I U(u) -s = sn « = —= — - — - • v/A 0(«)

Quand u varie en restant réel de o à K, ^ est réel puisque, dans les développements en série trigonométrique de H(w)et0(^^), tout est réel; dans cet intervalle :^ varie d'une manière continue, puisque ^{u) 'd pour racines 2mK -(- (2/1 + i)fK'. De plus, la

dérivée

dz ,

—f- = en M an u du

garde un signe constant, puisque les fonctions H,(w), 0,(«),

KTUDK DES VAI.KURS RÉELLES DE Snil, cn U, (In «. l49

(-)(//) ne s'annulcnl j)Our aucune valeur comprise entre o cl K ; celle dérivée est égale à i pour /< = (>; donc elle esl conslamment positive entre o et K. La fonction suit esl croissante : elle esl Midlc pour // = o et égale à i pour « = K.

De la variation de sn u, on déduit celle de cn a cl dn «, quand u varie de o à K. En elTet

en H = /' — sn'-'a \arie de i à o, et

dn « = y/i — /{-sn'-u varie de i à /.'.

On conclut de là les variations des trois fonctions dans tout intervalle réel en se rappelant que snu est impaire, que cnu et dn« sont paires, et que l'on a

sn(/< -4- aK) = — sn u, cn(u -h iK) = — cn u, di\{u -^ -iK) = (In u.