Argument de la forme v -f- iK', i> réel. — L'égalité

sn(t'-i-iK') = -;

/{ sn f

donne immédiatement la variation de snu quand

u = V -^ iK'

et que r varie de o à K. Gomme sin> croît de o à i, sn(p H- iK') décroît de + X à 7* Les fonctions

m « = y I — sn- u, dn h = y/i — k- sn- u sont purement imaginaires pour ces valeurs de u.

105. Argument purement imaginaire. — Les séries Irigonométrlques définissant II, 0, H,, (-), montrent immédiatement que, u étant réel, \l{iu) est purement imaginaire; B(m), H,(im) et fti(/M) sont réels. Donc, sn iu esl purement imaginaire; cnm el (\f\iu sont réels.

i5o ciiAPiTUi: V.

Pour cludier les variations de ces fonctions et niellre ces propriétés en évidence, nous nous servirons des formules du n" 80, relatives à rechange de K et R'.

Ces formules permettent de ramener les fonctions sniu^ en///, dn iu, construites avec les périodes 2K et 2fK', à d'autres fonctions su//, en//, dnu, construites avec les périodes 2K' et 2/K.

On a par définition

e,(o) U(ii) 0(0) H,(«)

Hi(o) 0t«) ili(o) 6[u)

Transformons sniu en nous servant des formules suivantes démontrées n° 80

e~^^U(iu\K, iK')^ Mn{u\K', iK), e 4^K^0(«/|K, /K') = A ni{u\K',iK);

nous avons d'abord

HjùilK, JK') . H(;<|K', JK) e{iu\K,iK') ~ '' Hi{n\K', /K)'

puis, d'une manière analogue,

0i(o!K, ;K') 01 fol K', iK) Hi(olK, iK') ~ 0(o|K', tK.; '

et nous déduisons de là

.sn(î/IK', iK) "^("^'^'^^^^ = ^n(.|K',.-K)'

en désignant par sn(//IK, iK') la fonction snii construite avec les périodes 2R et 2/R' et par sn(«jK', iK) celle qui s'en déduit en échangeant K et R'.

En raisonnant de même et en employant des notations analogues on démontrerait les deux, autres formules

Cn(m|K, iK') = -^y-, rr— ,

^ ' ' ^ cn(«|K', iK)

, dn(u\K', iK)

cn(M|K , iK)

Ainsi, quand u est réel, la fonction sn iu prend des valeurs

KTUDi: DES VAl.ErnS RÉELLES DE sn M, cn M. (In//. I)|

pui*enicnt imaginaires, tandis f|iiccn//< el dn/// sonl réels. Il S(U'ail facile de suivre les variations de ces dernières fonctions : il suffirait pour cela d'étudier leurs variations f|uand // varie de o à K'. Ainsi la fonction cn(//jK', /K) varie de i à o, d'après ce qu'on a vu pour les arguments réels; donccn(/M|R, /K') croît de i à +ac.

106. Argument de la forme K -i- in. u réel. — Prenons maintenant un argument de la forme R -4- /;/ en supposant que // est réel el croit de o à K. On a d'abord

. cn(n/)

sn ( K -I- «« ) = . , ■ ; <in{iu)

puis, en se servant des formules précédentes et mettant les périodes en évidence, on trouve

sn(K -i- iu\ K, t'K') =

dn(a|K', iK)

La fonction est donc réelle et varie d'une manière continue quand u varie de o à R', c'est-à-dire de o à la demi-période réelle de la fonction dn qui figure au dénominateur. Appelons pour un instant A-, le module des fonctions elliptiques sn(i^|R', «R), cn(«|R', /R), dn(«jR', ÎK.) : nous avons vu que, quand u varie de o à la demi-période réelle R', sn(M|R', tR) croît de o à i, dn(M|R', /R) décroît constamment de i à y/i — /c]. Donc, quand // croît de o à R', la fonction

sn(K -i- iu\K, iK')

croit constamment de i a .

On peut trouver directement les valeurs extrêmes de la fonction : pour u = o, elle est égale à i puisque snR^i; quand

// = R', elle devient égale à -.: comme le montre la formule

sn(t' -)- iK' )

dans laquelle on fait i' = R. On doit donc avoir

Le module tles fonctions nouvelles sn(M]R', <K), ... esl donc //.

107. Résumé. — Les résultats précédents peuvent se résumer ainsi. Soient Ox, Oj' deux axes rectangulaires : prenons sur Ox 0A=: K., sur Oy, OB = K' et soit C le quatrième sommet du rectangle construit sur OA et sur OB.

Lorsque le point dont l'aflîxe est // décrit successivement les

côtés OA, AG, CB, la valeur de snu varie de o à i, de i à -r > puis de 7 a -+- X

sn u

On formerait de même pour cnw et dn« les Tableaux suivants, en supposant toujours que le point mobile parcourt les côtés du reclans:le OACB :

en «... .

dnu

Fiî