Expression des périodes par des intégrales définies

fonction

i; = sn «

La

satisfait à l'équation différentielle

dz

qui peut s'écrire

du

en u dn u,

du =

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn M, CD {/, dn«. 1 53

Quand it varie de o à K, c est réel et croît constamment de o à I (ii° 103); on a donc

7 Jil-z^l-k^Z^

D'autre part, si Ton pose

Il =^ Vï. -~ it

et si l'on fait varier ^ de o à k', snM croît constamment de o à 7; on en déduit

'■"■=/ /ii

Or, en faisant le changement de variable

l'intégrale devient

K' est donc déterminé par l'égalité

Jo s/H-z^-){i-/c'-^z^)

On voit que K' est défini à l'aide du module complémenlaire k' comme K est défini à l'aide du module A"; par suite, quand on remplace /r par /,', on échange par là même K et K'. C'est, sous une autre forme, le résultat que nous avons déjà trouvé, quand nous avons vu que le module des fonctions sn(w|K', «K), . .. est égal à //.

109. Relations entre K, K et /.. — Les deux quantités K et K', exprimées sous forme d'intégrales définies

, , .. r' dz -., r' dz

ou

l54 CHAPITRE V.

apparaissent comme des fonctions de la seule quantité A\ Elles sont donc liées par une relation et ne sont pas indépendantes. Cette relation est celle que Ton a établie, entre K et K', pour rondro le nuiltiplicateur

pour

II = o,

égal à I. Cette relation peut s'écrire (n" 92)

Ainsi les fonctions Iv et R' de k-, définies par les relations (i), vérifient cette relation.

Les fonctions sn, en, dn, construites avec K et /K', sont donc déterminées dès qu'on connaît k. Aussi, au lieu de les écrire sn(^f|K, /K'), les écrit-on plus simplement sn(w, A), cn{u, k), dn(?/, A"). Par le changement de A' en A', R et R' s'échangent.

Les fonctions sn(z/|R', i'R), . . . s'écriront donc sn(M, k'), cn(«, A"'), dn(?/, A'). Avec ces notations, les formules établies plus haut pour l'argument purement imaginaire s'écrivent

.sn(ii, k')

sn(fw, A) :

en (t'a, /i ) d n ( iu , /." )

cn{u, k')

cn(«, k' ) dnjii, k') en (m, A'j

Par exemple, si l'on se place dans un cas de dégénérescence (n" 96), A- ^ o, on a A'= I , et la deuxième formule donne

Le module A' peut prendre une valeur réelle quelconque comprise entre o et i. En effet, dans la théorie que nous venons de développer, nous avons vu que, les deux quantités réelles et positives R et R' étant choisies de façon à vérifier l'équation (2), le multiplicateur est égal à i, et le module A" donné par

Ui(o) o-Mq ^ "i-y/q'

ÉTUDE DES VALEURS HÉELLES DE Sn», CWll, <\n U. iS*)

nous avons démontré ensuite que le module complémentaire /.' s'obtient en permutant K et K', ce qui donne

rp 9.v/^-^2v/y»+...

V h ^ ; ;; ' Ça

Quand le rapport rr, est nul, 7 = 0, /c = o; quand ce rapport est infini, rjo^ o, k'= o, /.= i . Donc, le rapport j^, variant de o

à X, A varie de o à i ; il passe par toutes les valeurs inférieures à i . D'après la théorie que nous avons développée, les déterminations de K et K' qui font acquérir à A une de ces valeurs sont données par les intégrales définies (i).

110. Inversion. — Supposons que, /: étant un nombre moindre que I, on ait trouvé entre 11 et z- une relation de la forme

On calculera les demi-périodes K et iK' par les intégrales définies (i). On construira ensuite les fonctions H, 0, Hi, 0|, sn(M, A-), cn(«, /:), da{u, A) correspondantes, et l'on aura

u — arg sn :;, -2 = sn u,

/i — ^2 = en u. y/i — k'-z- = i\nii.

On aura ainsi réalisé ce qu'on appelle Vùweision de 1" intégrale (3).

111. Expression de K par une série hypergéométrique. — Dans la formule qui définit K par une intégrale définie, faisons c = sin'^ : on aura

K = / (1 — A-sin^cp) -do.

Développons, par la formule du binôme, la quantité sous le

l56 CIIAPITRK V.

signe crintégralion

(i — A^sin^ç) - = \-h >, —^

/v2« sin2"'i.

D'après une formule duc à Wallis cl facile à vérifier, on a

, r 1 . 3 . '5 . . . 9. n — I sin-"o rtcs =