i /i Donc enfin

La série ainsi obtenue est un cas particulier de la série hjpergéométrique de Gauss

F(a 3 -' :r) = ^+^-^-^'Sl±}lM^tll:'l^

On a, en effet,

J 12, Valeurs réelles de pu, dans le cas où w et — sont réels, rattachées à celles de sn^u. — Supposons que la fonction pi/ soit construite avec deux périodes 2 to et 2 to' telles que to et — soient réels.

Nous avons étudié ce cas en détail. Nous pouvons, à titre d'exercice, rattacher les résultats que nous avons obtenus à ceux du présent paragraphe, en nous servant de la relation entre les fonctions p et sn. Nous avons trouvé en général

^ ).2sn2"

avec

2KÀ=:2W, 2tK')v = 20)',

V7 I ,, e.2—e3 ei — e.y A- = j /i- = > a: - = •

Dans le cas actuel, le polynôme

KTL'Dli DES VALEURS R K E L L K S DE Sn ;/, cn », (In». I 'J7

a ses racines réelles^ le discrlmiiiunl

est positif. De plus, e, >eo>>C3. Alors )>->»o; la valeur de />est réelle cl comprise entre o et i; les périodes 2K et 2/K'de la l'onclioM sn- /( sunl, la première réelle, la seconde purement imai^inaire. D'après cela quand u est réel, pu est évidemment réel. Aous avons vu (n° 54) que, l'argument u étant purement imaginaire, pu est encore réel; cela résulte de la formule

P( '■" ; » 2, .£^3 )=~p{u:ff2,— A's)-

INous allons vérilier celte formule en nous servant de l'égalité qui ramène pu à la fonction sn-u. Cherchons l'expression de

p{u;ff,, — .^s)- Quand on change ^'3 en — ^3, dans l'équation

on change les signes des trois racines ^,, e-,, e^ ou, en précisant, si ^,, ('.y-, '^^ sont les racines de l'équation précédente rangées par ordre de grandeur décroissante, les racines de l'équation

rangées aussi par ordre de grandeur décroissante, seront

e\——e3, e'.,=—e<,, e'.^= — ei\

le carré dn module de p{u^ g> — g-^) est égal à

ei — ea

On voit ([ue c'est le carré du complément du module de la fonction p(« ; ^25 ^3); le multiplicateur de pi^u ; g-^^ — ^'•3) est

Cy — e-, 61 — 63

il est le même que pour la fonction p{u; gi, g^).

En résumé, changer g^ en — gi revient à changer A' en A', et

l58 CII.VPITRK V.

l'on a

et la formule à vérifier

Piiit; ff2, ê^3)= — p{u] ffi, — ffs) équivaut à celle-ci

ou, eu lenant compte de la relation /.- -f- /r'- = i et en posant - = r

sn2(jV, /i) ' sn-{v,/c') '

or cette égalité résulte immédiatement de la Tormule suivante, démontrée au n" lOo

i snCp, A')

sn(iV, k)

cn(i', A:')

Variation des valeurs réelles de pu. — Partons de la formule

Quand- croît de o à K, sn- croît de o à i ; en même temps u croît de o k o) el pu décroît de -\- yz k e^.

Si Ton pose - =zK ^- it et si l'on fait varier ^ de o à K', sn- t-

varie de 1 a .— = : en même temps, on a

u = oj -+- ifi ;

t, croissant par valeurs réelles de o à oj', p;^ va constamment en décroissant depuis <?, jusqu'à en- Si l'on pose — = t'K'-T- t et si l'on fait croître ^ de o à K, sn^ y

décroît de x a -7-7; en même temps, on a

ÉTUDE DES VALEURS HÉELLES DE Sn//, Cn II , (lll H. 1 Sq

tf croissant par valeurs rt-cllcs de o à co, pu croît constamment de e:^ à Co-

Enfin posons it = //, faisons croître l de o à -^ et servons-nous (le la formule

Les périodes de la fonction écrite au second membre sont -^ et 2/10, puisqu'en changeant le signe de ^3 on change k en A', par suite K cn K', par suite 10 et co' en -r et / to. D'apr^-s cela, quand <

varie de o à -^j nous sommes dans un cas déjà étudié ', p(u; g-,, — ^3) décroît de l'infini à la plus gronde des racines de l'équation

c'est-à-dire — e^. Ainsi, t variant de o à —, p{l', ff2i — gs) décroît

de +CO à — ^3 et par suite p{u ; ^05 » 3) croît de — ao à e^. En résumé :

1° Quand n croît par valeurs réelles de o à oi, pu décroît de H- 00 à C) ;

2^ Quand on a u =^ oi -{- à et que l croît par valeurs réelles

de o à 4-5 pu décroît de C) à Co ;

3° Quand on a «=:to'-i-f et que t croît par valeurs réelles de o à w, jDw croît de Cs à Co ;

4° Quand on a u ^= it et que t croît par valeurs réelles de u

a -^» pu croit de — o; a ^3.

Cette discussion a été résumée au n" 57. Nous pouvons d'abord en tirer cette conclusion que pu passe par toute valeur réelle. D'ailleurs l'équation

pK — pi; = 0,

n'a que deux racines dans un parallélogramme des périodes, puisque le premier membre est une fonction doublement périodique admettant zéro comme pôle double et n'admettant pas d'autres pôles dans un parallélogramme des périodes qui contient

l6o CHAPITRE V.

zéro. Les deux racines sont évidemmenl, à des multiples près des périodes, égales à + t^ et — v.

Nous avons ainsi défini toutes les valeurs de it pour lesquelles la fonction pu est réelle.

Étude de la déràée pour les valeurs qui rendent la fonction réelle. — D'après l'équation

p'-« = 4(p« — ei)(p« — e2)(pM — es),

la dérivée p' M est réelle quand jdw est supérieure à Cj ou comprise entre e^ et ^3 ; elle est purement imaginaire dans les autres cas. Voyons, avec plus de détails, comment se comporte la dérivée dans les cas examinés dans le paragraphe précédent :

1° Quand u croît de o àcjj,p« décroît constamment; la dérivée est réelle et négative;

2° Quand on a u = co + it et que t croît de o à —, pu décroît constamment, pu est purement imaginaire, la dérivée de pu par rapport a ^ est négative; cette dérivée est ip u, ainsi ^—r- est

positive;

3" Quand on a u =. (^)' -{- 1 et que t croît de o à to, j3« croît constamment, p' u est réelle et positive.

Dans chacun des cas précédents on a examiné seulement un intervalle correspondant à une demi-période. En se servant de ce que la fonction pu est paire et admet les périodes 2(o, 2to', on vérifiera sans peine le résultat suivant, se rapportant aux cas où p u est réelle :

La dérivée change de signe quand la partie réelle de u passe par un multiple de co ou quand le coefficient de i passe par un

multiple de — •