Équations de la biquadratique. — La courbe définie par
les équations
!a7 = snM, y = cnu, z = dnji,
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snil, cn W, dn«. l6l
dans lesquelles u désigne un paramètre variable, est l'intersection de deux surfaces du second degré, puisque l'on a entre ^, JK> ^ les deux relations
/= xi -^y'- — i = o,
et, d'autre part, on peut toujours, par une transformation homographique, ramener à cette forme les équations d'une biquadratique gauche. Nous allons indiquer les propriétés les plus simples de cette courbe, en nous servant de la représentation paramétrique précédente.
Pour tous les raisonnements qui suivent, il importe de faire choix d'un système de périodes qui appartiennent à la fois aux trois fonctions snw, cnii, dnu. Or ces trois fonctions admettent toutes les trois les deux périodes 4K et ^iK'. Envisagées à ce point de vue, ce sont des fonctions elliptiques que l'on pourrait exprimer rationnellement à l'aide de la fonction j3(?^|2K, 2iK'), construite avec ces mêmes périodes, et de la dérivée de cette fonction.
Soit P un parallélogramme des périodes 4K et iiK' construit sur les deux périodes communes à snit, cnu, ânii. Nous allons montrer d'abord qu'à chaque point M de la biquadra tique, les relations (i) font correspondre une seule valeur de u dans le parallélogramme P. En effet, coupons la biquadratique par un plan
nous obtiendrons quatre points M,, Mo, M3, Mj, en associant à X = j:, , les quatre systèmes de valeurs
D'autre part, l'équation x := a;, donne
sn u — Xi = o,
la fonction elliptique sn;^ — x, ayant dans le parallélogramme P des périodes 4K. et 4^^.' quatre pôles simples, à savoir les pôles de snii^ y possède quatre zéros «,, u-y, «,i, (/■,. Si l'on prend successivement ces quatre valeurs de «, à chacune d'elles correspond un point de la courbe dans le plan x = Xi. On obtient ainsi d'une autre manière les quatre points M,, Mo, M3, M,j. Si alors on fait
A. ET L. Il
l6î CHAPITRE V.
choix d'im de ces points, le point M|, par exemple, il lui correspond dans le parallélogramme P une seule valeur de //, la valeur //=//,. Donc à un point ]M, de la biquadraliquc correspond, dans P, une seule valeur //, de u : dans le plan tout entier sur lequel on figure la variable u, il correspond au point M, une infinité de valeurs de u données par la formule
« = «, -I- 4 m K -h 4 niK' ,
m et n entiers. On a donc une représentation paramétrique parfaite de la courbe.
Remarque. — Si l'on se donne la valeur de ^, ;r = .r,, et si Ton appelle Ui l'une des racines de l'équation sn ?/ — ^, ^ o dans P, les autres Wa» "37 U\ sont données par
sn u — sn i/i = o; elles sont homologues des points
114. Forme de la courbe. — On aperçoit immédiatement la forme de la courbe, en remarquant qu'elle est symétrique par rapport aux plans de coordonnées, et qu'elle se projette sur xOy suivant un cercle, sur xOz suivant une ellipse, snv yOz suivant une hyperbole.
Mais voyons comment il faut faire varier l'argument pour obtenir tous les points réels de la courbe; a:; et y étant supposés réels, la relation
montre que chacune des quantités sn-;/, en- «est plus petite que i et l'on en conclut que u est réel, à des multiples près des quantités 2K et 2f K'.
Les formules relatives à la périodicité des fonctions sn, en, dn font voir que les points u et u -\- 2 K sont symétriques par rapport à l'axe Oz\ les points u et ;/ + 2 i¥J sont symétriques par rapport à l'axe Ox.
Il suffit donc déjà de faire varier « de o à 2K. De plus les for-
ÉTl'DE DES V.VLEIRS RKELLES DE SnM. cn «, dn«. lG3
mules
sn(2K — ;/ ) = sn u,
cn('2K — {/)— — cn //, dii(aK — Il )= dn u
nionlrcnl que les points i/ el i^K — if sont symétriques par rapport au j>lan des zx. Nous ferons donc varier u seulement depuis o jusqu'à K. Nous obtenons ainsi un arc BA de la courbe situé audessus du plan des xy, allant d'un sommet situé dans le plan des y:; à un sommet situé dans le plan des zx. U reste ensuite à compléter la courbe en se servant des symétries indiquées.
115. Condition pour que quatre points de la courbe soient dans un même plan. — L'équation que détermine les paramètres des j)oints d intersection de la courbe avec le plan
est
(2) A sn ?/ — B en » -r- G dn » -^- D = o.
Le premier membre est une fonction doublement périodique aux périodes 4K. et ^iK' admettant dans un parallélogramme des périodes quatre infinis qui sont les zéros de ©(«), par exemple les
points
iK', {K'-r-aK, — iK', — iK'-^-j.K.
La fonction (à) a donc dans un parallélogramme quatre zéros //,, 11-2, 1131 '^i correspondant aux quatre points d'intersection du plan avec la courbe. La somme des zéros ne diffère de la somme des infinis que par des multiples des périodes 4 l^- et /\i¥J : on a donc
(3) u i -f;- Il 2-+- 1(3 -^ U'^ = 4 niK -\- î niK',
m et n entiers. Cette condition nécessaire pour que quatre points soient dans un plan est suffisante. On le voit comme pour trois points en ligne droite sur une cubique plane (n°59).
Plans bitangents mènes par une tangente donnée. — Soit ;/, le paramètre du point de contact M, de la tangente donnée et u le
i64 onAPiTUi: v.
paramètre du deuxième point de contact INI, on a
2 II -T- 2 «1 = 4 "î K -I- 4 «/'K', u = — »i H- ■>- /» K -•- 2 «< K'.
Comme deux valeurs de // qui ne diffèrent que par des multiples de 41^ et 4?!^' donnent le même point, il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o et i et, par suite de considérer quatre valeurs de ?/, savoir
— »i, — »i-i-2K, — Ui-\-iiK\ — «1 -i- 2K -I- 2iK'.
11 y a donc quatre plans bitangents qui passent par la tangente en Ml ; les points de contact sont les symétriques du point M, par rapport aux trois plans de coordonnées et par rapport à l'origine. On voit de plus que les quatre plans bitangents menés par la tangente en M) sont les plans tangents aux quatre cônes du second ordre passant par la biquadratique (trois de ces cônes se réduisent ici à des cylindres).
11 est facile de déduire de là que le rapport anharmoniqiie des quatre plans bitangents menés par la tangente en M, reste fixe quand le point M, se déplace sur la courbe. En effet, les équations des quatre cônes sont
cp = k-x--i- Z- —
Les équations des plans tangents au point M, sont de la forme
le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à A-. Il est constant et l'on voit que sa valeur donne le carré du module des fonctions elliptiques qui ont servi à la représentation paramétrique.
Si l'on prend la perspective de la biquadratique, le point de vue étant au point M, de la courbe, on obtient une cubique qui passe par la trace w, de la tangente en M,; les plans que l'on peut
KTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn II , cnif, (In ». l65
mener par celle langcnle cl les langcnles à la courbe de l'espace ont pour iraccs les langcnles à la cubique menées par le point m,. D'où ce théorème :
D'un point pris sur une cubique on peut encore mener quatre tangentes à lu cuhi(iue et le rapport anluirnionique de ces quatre tangentes est constant.
Points de rencontre de deux tangentes à la biquadra-
lique. — D'après ce que nous venons de voir, si deux tangentes
sont dans un même plan et ne sont pas parallèles, leur point de
rencontre est situé dans l'un des plans de coordonnées. Pour avoir
le lieu de ceux de ces points qui sont situés dans le plan x= o,
par exemple, il suffit de cherclier la courbe décrite dans ce plan
j)ar la trace de la tangenle en un point variable de la biquadratique.
On trouve sans peine que ce lieu peut être représenté par les
équations
(IV u un«
et qu'il est du quatrième degré.
Celte ligne et les lignes analogues situées dans les autres plans de coordonnées et le plan de l'infini sont les lignes doubles de la surface du huitième ordre engendrée par les tangentes à la biquadratique.
\ 16. Plans osculateurs menés à la courbe par un point de la courbe. — Supposons que Irois des quatre points d'intersection de la courbe avec un plan soient confondus. La relation entre les paramètres de ces quatre points devient
<<i -f- 3 « = 1 m K -f- 4 rtiK' ou bien
Il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o, I, 2. Il y a donc neuf plans osculalcurs menés à la courbe, par le |>oinl ]\[,. Quand on projette la courbe, le point de vue étant en M,, les Iraccs de ces plans deviennent les tangentes d'inflexion de la cubique.
l66 ' CHAPITRE V.
Plans suroscuiatcurs. — SI les quatre points crintersection de la courbe avec un plan viennent se confondre, la relation entre les paramètres de ces quatre points devient
4 « = 4 m K -I- 4 ni K' ou bien
Chacun des entiers ni et n pouvant prendre quatre valeurs o, i, 2, 3, on trouve i6 points. Ces points sont les sommets de la courbe : un des plans correspondants est la limite d'un plan bitangent dont les deux points de contact sont venus se confondre.
117. Détermination des surfaces du second ordre passant par la biquadratique. — Considérons une corde joignant deux points quelconques M| , Mo de la biquadratique; il existe une surface du second ordre S passant par la courbe gauche et admettant IMiMo comme génératrice rectiligne. Si l'on mène un plan par la corde ]M(M2 et si M',, M', sont les deux nouveaux points d'intersection de la courbe par ce plan, la droite M', M!, est une génératrice de la surface S et une génératrice du second système, çn appelant premier système celui auquel appartient la droite M, Mo. En tenant compte de la relation qui exprime que les quatre points M), Mo, M',, M!, sont dans un même plan
Î<1 -i- U2 -+- ll\ -i- îa'o = 4 '" K -i- 4/1 i K',
on voit qu\/ne génératrice d'un système déterminé de S rencontre la biquadratique en deux points dont les arguments ont une somme constante.
La valeur de la constante change seulement de signe quand on passe d'un système de génératrices à l'autre pour une même surface du second ordre; elle est égale à une demi-période o, 2K, 2ïK', ou 2K+2fK' quand la surface est l'un des quatre cônes du second ordre qui passent par la biquadratique.
Comme ap[)lication, nous allons considérer des polygones dont les côtés sont des génératrices d'une surface S passant par la biqtiadratique et dont les sommets sont sur la courbe, et nous chercherons la condition pour qu'un polygone ainsi défini se ferme.
Les arguments de deux sommets consécutifs sont liés par les
lÏTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn«, cn M, (inu. 1C7
relations suivanles, dont les deux formes correspondent aux deux systèmes de génératrices,
le signe decongruence ni: signifiant que l'égalité à lieu à des multiples près des périodes 41^ et 4 ' l^'- Si l'on veut, par cxenij)lc, avoir un quadrilatère, on exprimera ([ue u^ ne diffère de //| que par des multiples des périodes 41^ et 4^^.'- En ajoutant membre à membre les équations précédentes on trouve
4 G = 4 'n K -I- 4 nii\',
C doit être un quart de période. Les quadrilatères ne se ferment que si la surface considérée correspond à une telle détermination de C et ils se ferment toujours pour une surface ainsi définie.
Il résulte de ce qui précède qu'une surface du second ordre passant par la biquadratique est caractérisée par un argument elliptique défini au signe près.
118. Équation de la surface des ondes. — Cette surface peut être définie de la façon suivante. Etant donné un ellipsoïde qui, rapporté à trois axes rectangulaires, a pour équation
on le coupe par un plan variable passant par le centre
Ax -h By -r Cz = o
et, sur la normale au plan menée par le centre, on porte à partir de ce point des longueurs égales aux axes de la section.
L'équation qui donne les longueurs des axes de la section est
l68 CHAPITRE V.
Pour lun des points jc, i', ; correspondant au plan A, B, C on a
de sorte que Téquation de la surface est
oi^x- ?^y' Y*^"
En chassant les dénominateurs et en supprimant le facteur x--{-y--+- z- on obtient
La trace de la surface sur chacun des plans de coordonnées se décompose en deux coniques. Il est facile de le voir en se reportant à la définition géométrique des points du lieu. Si l'on coupe l'ellipsoïde par lin plan tournant autour de l'un des axes, Oy par exemple, l'un des axes de la section est constamment égal à l'axe moyen [B, l'autre est un diamètre de l'ellipse principale située dans le plan zOx. Les points correspondants du lieu sont dans le plan zOx et ils sont situés sur un cercle de centre O et de rayon [i et sur l'ellipse que l'on obtient en faisant tourner d'un angle droit l'ellipse principale. La trace de la surface est donc représentée par l'ensemble des deux équations
y =0. (ar2-i-^2 p2-,(' j2^2 l. .^2 -2 a2Y2) = o;
on trouverait de même pour les autres traces
z = 0, ra72-^jK-— Y-;(a2x2-i- 'i^-y^—'x^-'^^) = o,
^=0, (jK2+^2 a2)(p2^2+v2-2 02.^2) = o.
Ceci conduit à mettre l'équation de la surface sous la forme (s)
(:r2-+-JK2--^2 Oo)(3,2a;2^02^2 + ^2^2^2.^2)
C'est cette forme dont nous aurons surtout à nous servir. Il est évident que l'on aurait une forme analogue correspondant à chacun des autres plans de coordonnées.
KTlDn Des VALEins R K K M. K S DE SU», Cnu, (\nt/. 1G9
I 11). Expression des coordonnées d'un point de la surface en fonction de deux paramètres elliptiques. — On peut exprimer les coordonnées d'un poinl variable de la surface en fonclion de deux paramètres cllipliqucs au moyen des formules
a" = [3 sn(//, /.) (In (v, /), y = X cn(«, /»•) cn(r, /), c = a dn(H, /.) sn(r, /),
le module A des fondions de rargumenl u et le module / des fonctions de l'argument r étant définis par les égalités
où l'on suppose
Nous écrirons les formules précédentes sous la forme abrégée
S = a ds[,
en attribuant l'indice i aux fonctions de l'argument c.
Vérifions d'abord que les valeurs de .r, y, z- données par ces égalités satisfont à l'équation de la surface quels que soient u et r.
En élevant au carré les deux, membres de chaque égalité et en exprimant les fonctions elliptiques de chaque argument à l'aide du sinus amplitude correspondant, on trouve successivement
On
en
déduit
