HY
et
comme on a posé
on voit que Ton a bien, quels que soient 5 et a"i,
120. Intervalles dans lesquels il suffit de faire varier la partie réelle et le coefficient de i de chacun des arguments pour avoir toute la surface. — Les trois fonctions snw, en?/, dn // admettent comme périodes 4K. et4^K.'; de même, les trois fonctions snt», ont', ànv admettent les périodes 4L et 4^L' (en supposant que L et L' correspondent à / comme K et R' à A). Mais les formules
sn ( «i -(- 2 K ) = — ?n »,
(ln((' -i- 2iL') =
— dnp.
en ( «f -+- 5 K ) = — en»,
cn(t^ H- 2iL') =
— CXÏV,
dn(a -i- 2K) = (In «,
sn(t^ -i- lih') =
snp,
montrent que les arguments
« -f- 2 K, p -f- 2 1 L' donnent le même point que les arguments
On verrait de même que
u -1- 2iK', t> -4- 2L
donnent le même point que
et l'on peut conclure de là qu'il suffît de faire varier la partie imaginaire de u entre deux valeurs différant de aïK' et la partie imaginaire de V entre deux valeurs différant de ii\J .
121. Les lignes paramétriques sont orthogonales. — Les lignes obtenues en faisant varier un seul des paramètres u et v sont des biquadratiques [voii- n° 113). Nous allons démontrer que les deux familles de lignes ainsi définies sont orthogonales.
Les cosinus directeurs de la tangente sont proportionnels à x\^, y'io -'u pour un point de la ligne obtenue en faisant varier le paramètre u ; les quantités correspondantes sont proportionnelles à x'^,, yl, z^ pour l'autre ligne; nous avons donc à vérifier que l'on a,
ÉTUDE DES VALEinS RÉELLES DE Sn U, cn U , <]nu.
pour un système quelconque de valeurs de u et de v, ^'uK -+- j'uyl + -'« -i- = o.
Calculons ces dérivées :
;, = ^cdcli,
T'^, = '^l^SSiCi,
:, = — a.ff/c,, y^, = — 0LCSidi,
Dans chacun des produits ^]^x^, y'^yl, z[^z'^,,^on trouve en
facteur
scdsiCi d\,
et l'égalité à vérifier se réduit à l'identité
Q=> Il , „-i „•> /.o ^
|j-< r- Ot a-A-= O,
évidente, si l'on se rappelle que /-=: 0^ A'- (n" H9).
122. Points singuliers. — Nous avons vu que la trace de la surface sur Tun des plans de coordonnées se décompose en deux coniques; les quatre points communs à ces deux coniques sont des points coniques de la surface. Considérons, en particulier, la trace sur le plan zOx. On doit avoir
y =z o, cil ucnv — 0.
Pour cn « =^ o, on a 5- ^ i , et l'équation (n° 119),
montre que les points correspondants du lieu sont les points du
cercle
Pour cnt' = o, on a s'\z= 1, et l'équation
montre que les points correspondants du lieu sont les points de l'ellipse
L'un des points d'intersection du cercle et de l'ellipse est donné
par les valeurs des paramètres u el r telles que l'on a à la fois en II = o, en (' = o.
Mais chacune des trois dérivées ^'„, Jk'„, ^„ contient en facteur c ou Ci et il en est de même pour ;r[,, y^,^ z'^,. Donc, les développements dex^y, z, suivant les puissances des accroissements ^ii, Ae donnés aux paramètres à partir du point considéré, commencent par des termes du second degré; le point est point conique de la surface. On vérifie sans peine que ses coordonnées annulent les trois dérivées f^, f^., /.' du premier membre de l'équation de la surface.
Nous avons ainsi quatre points doubles réels dans le p\anzOx.
On les obtient comme points du lieu lorsqu'on coupe l'ellipsoïde E
par un plan passant par l'axe moyen et donnant comme section
un cercle.
Fig. 8.
On trouverait de même quatre points coniques de la surface dans chacun des autres plans de coordonnées et il résulte de la définition géométrique des points du lieu qu'il n'y a pas d'autres points coniques à distance finie. La forme de l'équation de la surface conduit à considérer comme points coniques les points à l'infini sur les quatre génératrices communes aux deux cônes
■.-—o, a.-x--i- 'jj-y--i- '(-Z-:
On a donc en tout seize points singuliers; quatre de ces points seulement sont réels : ce sont les quatre points coniques situés dans le plan zOy.
ÉTinr: des valeurs réelles de sn^/, cnu, dn ». 1-3
123. Plans tangents singuliers. — Un plan perpendiculaire à un plan principal, et dont la trace sur ce plan est une tangente commune aux deux coniques en lesquelles se décompose la section principale correspondante, est un plan langent singulier : il touche la surface en une infinité de points situés sur un cercle. Considérons, en j)articulier, la trace de la surface sur le plan
des xz
et cherchons d'abord les tangentes communes à ces deux coniques. Si une droite
UX -\- iVZ -h i = o
est tangente à chacune de ces coniques, on a
p- u^ -+- 3- w-= I , Y' "■ -i~ '■"■' IV- = I . En résolvant ces deux équations, on obtient
RUv-^=-^ ^, 3(v=ztA-'.
L'une de ces tangentes a donc pour équation
kx 4- k'z — 3 = o.
Coupons la surface par le plan perpendiculaire à :;0.r et ayant pour trace cette tangente commune. En remplaçant dans l'équation du plan X el z par leurs valeurs en fonction des paramètres elliptiques, nous avons, entre les paramètres d'un point de la section, la relation
k 3 sdi -f- k' a dsi — 3 = o,
et, comme on a /c' 7, = L cette relation |)eiit s'écrire
ksdi -+- Idsi — 1 = 0.
Pour vérifier que la ligne définie par cette relation est une conique comptée deux fois, nous allons la couper par une surface
V = const.
et montrer que les points d'inlersecllon sont deux à deux confondus. Les valeurs de s et de d correspondant aux points d'intersection sont données par les deux équations
/isdi -+■ Idsi — 1, A-2 52-^ d^ =\.
Or, l'équalion du second degré qui donne les valeurs de 5 a ses deux racines égales ; tandis que si l'on avait coupé la surface par un plan quelconque parallrle à Oj', le même calcul aurait conduit à deux valeurs distinctes de s. Donc le plan
kx-^k'z. = ?
coupe la surface suivant une conique comptée deux fois et, comme il n'y a pas de ligne double sur la surface, il est tangent tout le long de cette conique.
On peut vérifier le résultat précédent au moyen d'un calcul plus symétrique, en formant une combinaison homogène des deux équations précédentes en 5 et d^ savoir
(/,-552^ f/2)(/252^ ^2) — (ksd i -{- dIs if- = O.
Cette écfuation donne les valeurs de -. • Or, en transformant le 1 a
premier membre d'après l'identité
