A2^ B2)(A'2+ B'2) — (AB'^ BA')5 = (AA'— BB

on voit qu'il se réduit à

{/>/ssi — ddj )-,

et l'on retrouve que les points d'intersection sont deux à deux confondus. Mais on peut, en outre, déduire de ce calcul une forme de l'équation de la surface mettant en évidence les plans tangents singuliers perpendiculaires au plan zOx. Nous avons remarque qu'on a l'identité

I — ( ksd, — dhi y- = {klssi — ddi )%

en supposant s et d d'une part, 5, et ^, d'autre part, liés par les

relations

k- s- -^ d- = I , l'-si-\- d'i = i.

ÉTUDE DES VALEURS UÉ ELLES DE Sn It , CD//, tllU/. 175

Cette identité peut s'écrire

— ( /. 5^1 + d/s 1 — 1 ) ( /kS(/i -4- d/s , -*- 1 ) =H ( /i7s5 , — ddi )- , et, en y changeant ,s-, en — .v,, on en déduit

— ( Asdi — dlsi — n ( Asdi — dhi -+- 1) — { A/^s, 4- fW, )2.

Multiplions membre à mcinl)rc ces deux identités cl désignons les pareulhèses situées dans les premiers membres par q,, q.,, q3, q^, nous obtenons la nouvelle identité

Vi 7i q-i q-* = U^'- i-s'^s\ — d- d\y\

qui peut encore s'écrire

qiq-2qzq\^(f^'-s--h /-'sf — 1)2,

et qui donne la forme cherchée de l'équation delà surface; il suffit d'y remplacer s, d, 5|, df en fonction des coordonnées x, y, z du point correspondant de la surface;

q 1 ^ /îsdi -\- isid — I devient

ryo, <73, q-, se transforment d'une façon analogue. D'autre pari

l'-Sl-\- /i-S- — I

devient (n" 119), en désignant par ). et [x des constantes,

et l'on obtient pour la surface l'équation

Celte équation montre d'abord que la section de la surface des ondes par le plan Q, = o est la conique section de la surface cp par le même plan, comptée deux fois. Celte conique est un cercle, car en cherchant les plans réels qui donnent des sections circulaires dans la surface es, on trouve que ces plans sont parallèles aux deux plans

ou bien

Nous avons trouve quatre plans tangents singuliers correspondant au plan zOx; on en trouverait de même quatre autres correspondant aux deux autres plans de coordonnées, et quatre autres cju'on peut définir comme les plans tangents communs aux deux

cônes

x--\- y-~ z- = o, oc-x--i~ '^-y--^ '(- -=- = <J.

On a ainsi seize plans tangents singuliers dont chacun touche la surface tout le long d'une conique.

124. Forme de la surface. Distribution des valeurs des paramètres. — La Jig- 8 (') indique les sections de la surface par les trois plans de coordonnées. La surface se compose de deux nappes réunies par quatre points coniques et dont l'une est tout entière située à l'intérieur de l'autre.

Elle est représentée, en perspective, dans la Jîg. 9 : on a

Fis- 9-

ménagé une ouverture qui permet de voir la nappe intérieure.

(') Ces figures sont empruntées au Traité de Géométrie de MM. Rouché et (Je Comberousse; Gauthier-Villars.

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SU U, Cnil, dnu. 177

On a représenté {/iir- >o) le corps solide ou noyau qui serait re-

Fig. m.

couvert par la nappe intérieure seule, el{fig. ii) la section de la surface par un plan passant par les quatre points coniques.

Fig. II,

Cherchons entre quelles limites varient s et 5,. D'après la relation

si nous coupons la surface par une sphère concentrique, tout Je long de l'intersection s reste constant, jr, y^ z sont à des facteurs constants près égaux à </, , C(, 5i; Finterseclion est une biquadralique. Le carré du rayon de la sphère peut élre représenté par

Pour que la sphère rencontre la surface, il faut que 0- soit positif et compris entre a- et y^ ; $- doit donc être positif cl compris entre o et t:;-

A. ET L. Il

1^8 CII.VPITKE V.

Quand 5- varie de o à i , la biqiiadraliquc formée de deux ovales séparées par le plan yOz décrit la nappe inléricurc de la surface.

Quand 5^ varie de i à -^ la biquadratique formée de deux ovales

séparées par le plan ^ Oy décrit la nappe extérieure. De même, d'après la relation

on voit que s'-^ varie entre o et ■^' A une valeur donnée de s,

correspondent des points situés sur une biquadratique; quand s^^ varie de o à i la biquadratique formée de deux ovales séparées

par xOy décrit la nappe intérieure; quand 5^ varie de i à -^ la

biquadratique formée de deux ovales séparées par yOz décrit la nappe extérieure.

On déduit aisément de ce qui précède le moyen de déterminer la nature des arguments qui correspondent à un point pris sur l'une des nappes de la surface et la position du chemin décrit par le point M d'arguments u et ç, quand on fait varier un seul de ces arguments.

Prenons, par exemple, un point Mo sur la nappe intérieure et dans le trièdre des coordonnées positives; l'un des systèmes d'arguments correspondants sera formé de deux valeurs réelles Uq, i'o telles que l'on ait

Nous avons déjà remarqué que le même point est donné par les

valeurs

(■iK — uo, 2L — Co)

des arguments, et il est évident qu'on peut partir de Mo avec le système Uq, Vq et revenir au même point avec le système (2R — Uo^ 2L — t^o) en faisant varier successivement un seul des arguments.

Voyons, en détail, comment se déplace le point M d'argument u, v, quand, a restant égal à Uq, ç varie de ^o à 2L — Vq puis, quand, i> restant égal à 2L — Co, a varie de m© à 2K — Uq. Pour u = itoi on a une biquadratique formée de deux ovales que sépare le plan des yz. Comme nous ne considérons que des va-

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn H, cnu, <]nil. 1 79

leurs positives de v, le point M restera sur l'ovale de droite; soit Ct/ cette ovale. De même, pour v = i'o, on a une hiquadratique formée de deux ovales séparées par le plan des xy. Le point M restera sur l'ovale située au-dessus de ce plan; soit C^ cette ovale. Cela posé, quand v varie de t'o à L, puis de L à 2L — Poj le point M se déplace sur C^ depuis Mq jusqu'au point le plus haut de l'ovale, traverse le plan des zjc et vient en M„, symétrique de Mo par rapport à ce plan. Quand ensuite u varie de Uq à K, puis de K à 2 Iv — Uq, le point M se déplace sur C„ depuis M,, jusqu'au point de la courbe C„ située dans le plan ;;0:c et dont Vx est positive, traverse le plan zOx et revient en Mo {Jiff- 12).

Remarquons encore que les points de C„ où la tangente est parallèle à Oy sont sur le cercle

ou plus exactement sur l'un des deux arcs de ce cercle qui appartiennent à la trace de la nappe intérieure; les points de C,, oîi la tangente est parallèle à Oy sont sur l'ellipse

ou mieux sur l'un des deux arcs de cette ellipse, qui appartiennent à la trace de la nappe intérieure.

Pour un point de la nappe extérieure l'un des systèmes de valeurs de a, V est de la forme

a = K -^ ia , v = L -r- Ib' ,

l8ô CHAPITRE V.

a' et b' étant réels ; l'aulrc syslèmc est alors forme des valeurs eonjuguccs

alv — Il = K — ia' ,

if.

On verra, comme dans le cas précédent, comment on peut passer d'une manière continue du premier système au second.

Remarque. — Le fait qu'à un point donné correspondent deux systèmes distincts de valeurs de u et r, donne lieu à une complication analogue, d'une certaine façon, à celle qu'on rencontre dans l'étude des fonctions algébriques, La discussion précédente montre comment on pourrait faire disparaître, en partie, cette complication, en considérant la surface des ondes comme formée de deux feuillets réunis suivant des lignes joignant deux des points coniques.

III. — Pendule simple. Élastique plane. Corde a sauter. Mouvement a la Poinsot.

123. Pendule simple. — Quoique la théorie du pendule simple se déduise comme cas particulier de celle du pendule sphérique que nous avons traitée à l'aide des fonctions jd et g*, nous la reprenons ici à titre d'application des fonctions sn, en, dn.

Fig. i3.

Prenons un axe O^ vertical et dirigé vers le haut, lorigine étant au point de suspension du pendule, et supposons le mobile lancé du point le plus bas Mo(:; = — l) avec une vitesse initiale V(,\

ÉTIDE DES VALEURS RÉELLES DE sn II, cn M, dn«. l8l

le théorème des forces vives donne

t.'2=2^(a — z) avec «= — l -\ •

i" Supposons d'abord que la droite ll{z = a) coupe le cercle en A, A', c'est-à-dire que l'on ait « < /, ou ('o< "^sjlg- Le mouvement consistera alors en oscillations isochrones entre A et A'. Prenons pour variable l'angle MoOM = 0. Nous avons

z= — /cosO, rt = — /cosa,

en appelant y. l'angle d'écart maximum MoOA. L'expression de la

vitesse est

ds l jm ^ ~ 'dt ^ ~dt

et l'équation des forces vives devient ([u'on peut écrire

/■- ( -r- ) = 2^/(cosO — cosa),

•2 t / '^ dt = - — -

t / sin2 sin-

d'où

Nous prendrons le signe + en supposant que le mobile monte. En comptant le temps à partir du moment où le mobile part de Mo et en posant

sin - = u sin ->

on a

On est ainsi ramené à une intégrale elliptique et l'équation cidessus résolue par rapport à u peut s'écrire

c'csl-;

i-dlro

cos- =

sin -

= sin^sn(^/^^

A^sn^.l/f

on obtient ainsi les coordonnées /sinO et /cosO du mobile en fonction uniforme du temps.

Pour avoir le temps T que met le mobile à aller de Mo en A, il faut faire varier d de o à a, c'est-à-dire « de o à i ; donc, en posant

on aura pour T la valeur Kt /— et la durée de Toscillation simple

sera 2R1 /-• Si l'on ajoute cette quantité à t, le mobile doit

prendre la position M' symétrique de M et sin 8 doit changer de signe, ce qui fournit une vérification de la formule

sn(a: -;- 2K) = — ?,nx.

2" Il nous faut maintenant considérer le cas où la droite H ne rencontre pas le cercle, c'est-à-dire où l'on a a >■ /. L'équation des forces vives (^-= ^g{ci — ::) peut s'écrire

/■-(-T-j = 1 g {a -^ l cosO) = igia -h l — -il sin^ - j OU

•xl en posant /.-^ ■ y, le- est plus petit que i puisque a est plus

grand que l. En résolvant par rapport à dt^ posant

1 /i^(rt-t-0.

et prenant u = sin - comme nouvelle variable, il vient

éti:de des valeurs réelles de snu, cnu, dnii. i83

d'où, en l'ésolvanL par rapport à a, c'est-à-dire en faisant Tinversioii

u = sn(A /), siii - = sn(A /).

On en déduit

cos - = y/i — sn-(lt ) = cn(XO-

Le temps T que met le mobile à arriver au point le plus haut s'obtient en faisant varier 0 de o à t:, c'est-à-dire «deçà i ; il est

donc Y"

3° 11 reste enfin à traiter le cas intermédiaire où la droite II serait tangente à la circonférence donnée : a=: /. On peut alors efTeclucr les intégrations à l'aide de fonctions exponentielles (cas de dégénérescence), car le module k des fonctions elliptiques précédentes devient égal à i. Revenons, en effet, à l'équation des forces vives u'-= '2g{a — z), nous l'écrirons

i'-{-l~) = 2^(^ -r- ^ COSO) = 4»^^ C0S2 -,

et, en intégrant,

l t = log tanr

La constante d'intégration est nulle puisque t doit s'annuler avec 0. Lorsque t croît indéfiniment, 0 tend en croissant vers la limiter:; le mobile s'approche indéfiniment du point le plus haut sans jamais l'atteindre. On a alors

. 0 e>'t—e-''t 0 ?. s'n - = -^, v; ' cos - = -Y, 77 >

)> étant éiral

Remarque sur l' interprétation de la période imaginaire -îiYJ . — Plaçons-nous, pour simplifier, dans le premier cas (i°), où le pendule oscille entre les points A et A'. Supposons que la pesanteur change de sens et que le pendule oscille sur l'arc supérieur Kz\! , entre les mêmes points A et A'. Pour avoir les for-

l84 CHAPITRE V.

mules relatives à ce nouveau mouvement, il suffit de changer, dans les formules du premier cas (i°), a en t: — a et, par suite, de

remplacer le module k = sin - par son complémentaire A'= cos- •

Les fonctions elliptiques qui donnent le nouveau mouvement sont donc construites avec le module complémentaire de A" et, en

particulier, la durée de la nouvelle oscillation simple est 2K'l / — (Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 1074)-

126. Élastique plane sans pression. — Nous avons déjà vu (n^ôS) que le problème de l'élastique gauche cotiduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un corps pesant de révolution, suspendu par un point de son axe.

En particulier, le problème de l'élastique plane sans pression conduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un pendule simple. C'est ce que nous allons montrer rapidement.

Imaginons une tige élastique dont la fibre moyenne affecte à létal naturel, la forme dune courbe plane connue Co et soit Oq

Fig. 14.

la valeur du rayon de courbure en un point M de cette courbe. Supposons ensuite qu'on déforme la lige en faisant agir sur elle des forces quelconques, mais de telle façon que la fibre moyenne reste plane et prenne une nouvelle forme C. Le rayon de courbure en M devient alors p. Dans celte position d'équilibre contraint, les forces élastiques sont déterminées d'après les lois suivantes : Si l'on coupait la tige en M, pour maintenir l'équilibre il faudrait appliquer à la section en M une force T dans le plan de la courbe C et un couple dont l'axe est perpendiculaire à ce plan

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn M, cnil, (]nu. l85

et dont le moment N est proportionnel à la variation de la cour-

bure :

? Po

\? po/

B désignant un eocfficicnl constant qui dépend de la nature de la tige.

Nous traiterons ici le cas simple où la tige est primitivement

rectiligne, — =r o, et où l'on fait affir seulement sur ses exlré-

* Po ^

mités M, et Mo deux forces T, et To situées dans le plan de la courbe d'équilibre et deux couples N, et No ayant leurs axes normaux à ce plan. Les deux forces T, et To sont égales et opposées, car les seules forces extérieures appliquées à la tige en équilibre étant les forces T, et T2 et les couples N, et No, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque doit être nulle. Les forces T( et To forment alors un couple qui fait équilibre aux couples N) et No.

Prenons pour axe Ox une droite parallèle à T, et To. Soit M un point quelconque de la fibre moyenne : si la tige était coupée en M la partie M, M serait en équilibre sous l'action des forces extérieures suivantes : 1° la force T, et le couple N, agissant sur l'extrémité M,; 2° une force T et un couple N agissant sur M; le couple N a pour moment

puisque nous supposons — = o.

Ces forces extérieures appliquées à l'arc M, M se font équilibre. Donc, T est égal et opposé à T(. En outre, la somme des moments de toutes les forces extérieures, par rapport à un point du plan doit être nulle. En prenant la somme des moments par rapport à O, nous avons

T,7i--TjK-N,H-N = o,

d'où, en remplaçant T par T, et N par - j une équation de la forme

l86 CHAPITRE V.

c^ désignant une conslanle positive et h une autre constante. On peut toujours déplacer l'axe des x parallèlement à lui-même de façon à faire disparaître cette dernière constante et à ramener ainsi l'équation de la courbe à la forme

Nous allons montrer que, lorsqu'un point décrit la courbe élastique avec une vitesse constante, la normale en ce point oscille comme un pendule autour de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la ligne d'action des forces T, c'est-à-dire sur Ox (').

Soit, en effet, 0 l'angle de la normale en M avec cette perpendiculaire ; si le point mobile se déplace de ds la normale tourne de

l'angle d^ et l'on a

f/0 I ds p

d'où, par différentiation,

(•) ds^

c"- ds

— sinO.

Si l'on pose - z=i/'^t, on retrouve l'équation du mouvement pendulaire

—TT — 7 sinlj.

dV- l

Pour intégrer l'équation (i), multiplions les deux membres

dd . , ., .

par -7- et intégrons : il vient

[JL désignant une constante arbitraire. On a alors

C2 , dd

Trois cas sont à distinguer, correspondant aux trois cas rencontrés dans le pendule simple, suivant que [jl est compris entre — I et -I- I , supérieur à i , ou égal à i .

C) Comparer à Greexhill, Fonctions elliptiques.

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snil, Cnu, dnu. l8;

Premier cas. — Dans le premier cas on pciil poser

u = — cosa.

L'angle 0 varie de — a à -|-a; la courbure et l'ordonnée y s'annulent pour ô = a.

On a ainsi la forme de la courbe {fig. 14, !)• Les points correspondant à 9=±a sont les points B et B'. Cette forme de courbe correspond au mouvement oscillatoire du pendule.

On a trouvé dans ce cas, pour le pendule,

A-sn^f:

avec A'^sin-- On a donc actuellement par le même calcul, en faisant - ^ ^\/ 1 '

sin - = A- sn - 7 cos - = an - ?

\ / sin^ sin2 - = — en -

y 1 ICC

y =^ — ^ ikc en -•

Calculons enfin x en fonction de 5, on a

--- =3 eosO = 1 — 2sin2 - = i — ik- sn

ds 1 c

D'oui, en intégrant de o à 5 et se rappelant la formule du n° 100

7x2 sn^ii du = —

Deuxième cas. — Si l'on a [Ji > i, 0 peut varier de o à 2- : j et - ne s'annulent jamais; la courbe a la forme II de \difig. i4-

l88 CHAPITRE V.

Ce cas correspond au mouvement révolulif du pendule. On achèverait le calcul comme dans le cas précédent, en employant les mêmes transformations (juc pour le mouvement révolutif du pendule simple.

Troisième cas. — Si [ji = i, on se trouve dans un cas de dégénérescence. On a alors

(rioy- /, ,0

2 Sx /

cos -

fte = cos ^ as = ( 2 cos2 i «5 = 2 c cos as,

cr = 2c sm - — 5 = 2C —

La courbe est alors asymptote à l'axe Ox, comme on le voit en faisant tendre 0 vers ± t, et 5 vers ± oc.

127. Corde à sauter. — Imaginons une corde homogène dont on tient les deux extrémités et qu'on fait tourner très vite autour de la droite joignant ces deux extrémités. On peut alors négliger l'action de la pesanteur sur les divers éléments de la corde et chercher la figure permanente cjue prend la corde dans son mouvement. Par rapport à un système d'axes tournant avec la corde, cette figure permanente est une position d'équilibre relatif. D'après la théorie de l'équilibre relatif, on doit exprimer qu'il y a équilibre entre les forces agissant réellement sur chaque élément de la corde et les forces centrifuges.

La force centrifuge agissant sur un élément de masse m est perpendiculaire à l'axe de rotation et répulsive; elle a pour inten-

KTUDE DES V.VLEIUS HÉELLES DE sn//, Cil», dnil. 189

sllc ni (.<)'-/-, 10 désignant la vitesse angulaire constante de la rotation et /■ la distance de l'élément m à l'axe.

En prenant l'axe de rotation pour axe 0:r, on est donc ramené à un problrnic sur l'équilibre dos lils que l'on peut énoncer ainsi :

Ln fi/ est atlaché en deux points de l'axe Ox et chaque élément du fil est repoussé pat- V axe proportionnellement à sa longueur et à sa distance à l'axe.

Toutes les forces qui agissent sur le fil rencontrant l'axe O^, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant tout le long du ni ; mais, comme le lil est attaché en deux points de l'axe, le moment de la tension aux extrémités est nul; ce moment est donc constamment nul et Ton a

ds ds

d'où

dv dz

— o, y = /nz,

m étant une constante. La figure d'équilibre est donc dans un plan passant par l'axe Ox. Prenons ce plan pour plan des xy, la force agissant sur l'élément ds est perpendiculaire à O^, répulsive et proportionnelle à l'ordonnée y

Y ds = i±y ds.

Les équations d'équilibre sont donc

la première donne T -77 = A, où l'on peut toujours supposer A

positif en comptant les arcs s dans un sens tel que x croisse avec s; en portant celte valeur de T dans la deuxième équation et posant

dx -^ A. a- r ^

on a I équation

y dy' ^ oydy ^ ^

et ea intégrant

/TT/î-

b- désignant une constante nécessairement positive puisque le premier membre est positif. Isolant le radical, élevant au carré et

remettant pour y sa valeur y- > on a

clx=àz

a- dy

Comme le fil est attache à l'axe Ox, l'équation doit donner une valeur réelle pour y' quand j' = o, donc b-'^a-. En désignant par 9(jk), 1r poljnome bicarré placé sous le radical, on a

j- partant de zéro ne peut varier qu'entre — \/b^ — a- et 4-y/6- — a*. Construisons la courbe. Supposons que le fil soit attaché en O {^/ig. i5) et qu'il soit situe dans l'angle yOx : alors x croît

(Lv

d'abord avec y, y- est positif, et l'on a

r^ a"- dy (G) x=\ -—L.-

y croissant, x croît, jusqu'à ce que y ^=- \Jb- ~ a- ; x atteint alors la valeur

«- dy .

on a ainsi la branche 0A| ; la tangente en A| est horizontale. A partir de cette valeur, y décroît et, pour que x continue à croître, il faut prendre le signe — devant \/'f (jk) • on a ainsi une nouvelle branche A,M,0, symétrique de la première OMA, par rapport a

ÉTUDE UES VALEUnS RÉELLES DE ?n », cnu, (\nu. 19I

l'ordonnëc A, B,, car à des variations égales de y correspondent des variations égales de a'. Pour 7 = 0 on obtient le poinl O, d'abscisse 2^; puis, y devenant négatif peut décroître jusqu'à la valeur — ^\/b' — a-, l'abscisse croît toujours jusqu'à la valeur 3^, ce qui donne le point Ao, où la tangente est horizontale. Ensuite jj^ augmente de nouveau de — ^/b- — a- à -\-\/b- — «'- ; il faut prendre, à partir de Ao, le signe + devant le radical, et l'on obtient l'arc A2O2A3 coupant l'axe au point Oo d'abscisse 4?j etc. Les branches de courbe ainsi obtenues successivement sont toutes égales à la première. La courbe est donc analogue à une sinusoïde.

Intégrons les équations par les fonctions elliptiques. Faisons dans l'équation (C) de la courbe

elle prend la forme suivante :

x\J-i f dt

d'où

/■2 r dt

X Ji ,~r-, ; X V 2

ak ^ ak

Ainsi la courbe donne la représentation graphique de la variation de la fonction sn.

La difTérentieile ds de l'arc de courbe est

V \dy] -^ Jo(r)

en faisant dans cette formule la substitution (i) ci-dessus, on trouve pour l'abscisse \ du point A, et la longueur \ de Tare 0A| les deux expressions

[ * ^^' C ' '^ ak'

1 a /" ' (i-f-/t-— 'i.kn-^)dt

car le point A, s'obtient en faisant ^ = i .

Quand A et ^ sont donnés {\ étant supérieur à ^, car l'arc OA, est supérieur à sa projection OB,), les constantes a et k- ont un seul système de valeurs, sous la condition A-<;i. En effet, en calculant A — ^ et ). + i, on trouve

Pour /,-;= G, le rapport du second membre est nul; A- augmentant, le numérateur augmente évidemment et le dénominateur diminue, donc le rapport augmente et pour A:-:=i le rapport est I . Ce rapport passe donc une fois et une seule fois par la va-

leur donnée r

La constante k- a donc une valeur et une

seule; l'expression (2) de ç donne alors pour a une seule va-

Détermination des constantes. — Le fil ayant une longueur donnée /et étant attaché au point O et au point O' de l'axe Ox d'abscisse a, il y a une infinité de cas possibles.

i" Le fil n'a qu'une seule onde entre O et O' {Jig- 16). Alors \

Fie. 16.

est la moitié de a, A la moitié de /. Les quantités \ et À étant connues, la constante k- a une seule valeur donnée par l'équa-

tion (j); puis a= -^,-

2° Le fil a deux ondes entre O et O'. Alors ^ 1= -, )> ^ - ; /.-^ a

la même valeur que dans le cas précédent, car y } est le même

; ensuite a

i:ri iti: i)i;s v.vi.kiks iiki:m.i:s di: slw^ iim, dnii. 19'J

En lîrnéral, si le (il a // ondes eiilre O el ()', ç :=: ? a =

A- a loiiioiiis la iiieine Nalciii-, mais d = r-,-,-

Il V a donc une infinité de [josilions d'équilibre qui sont toutes liomolliéliques de la prcinirie par rapport à O, les rapports

d lioinollu'lie étant ».,>•••>

•'. j II

l!28. Mouvements à la Poinsot. — l^^tudions le mouvement d'un soliile autour dun |)oiiit fixe O, dans le cas où les forces ont une résultante unique passant par le point O.

En prenant pour axes liés au corps les trois axes principaux d'inertie relatifs au point O, Oxyz., on a, pour déterminer les composantes />, q, r de la rotation instantanée suivant ces axes, les trois écpiations suivantes, dans lesquelles A, B, C sont les moments dincrlie j)rincipaux (A^B^C), D et [x des constantes arbitraires ('),

Nous tirerons p et /• des deux premières équations et, en les portant dans la troisième, nous aurons une équation différentielle du premier ordre en q. L'élimination de /• entre les deux premières équations donne

A/^H A — G)-^ Bry2(B — C) = D( D — C);jl^

D'après les grandeurs relatives de A, B, C, on \oit que la dillV-rence D — G est essentiellement positive : elle ne pourrait être nulle que si les valeurs initiales p^ et q^^ de p et q étaient nulles. JJe l'équation ci-dessus l'on tire

B(B-C) en posant

(') Voir AiTKLL, Traite de Mccanirjue, t. II, p. 199.