D(A — D)(B-C) --•^\/ ABC
et f^, une )iouvellc constante arljitraire, représentant l'époque où <j s'annule en croissant. Le module /. - est moindre (pic i puisque ^-^f'-\ il est égal au rapport anliarmoniquc de A, 13,
Ces formules donnent/?, q, r en fonctions uniformes du temps. V.n effet, en posant, |)0ur abréger,
l'inversion de l'intégrale elliptique donne
/B(A-B)/ jrr--r „ , /D(A-D) ,
où 'j. est positif et où z\ t" sont égaux à zt i .
D'après les propriétés des fonctions sn, en, dn, ces formules montrent que/? et q s'annulent périodiquement, tandis que /■ ne s'annule jamais.
Si nous supposons /'o^o. /• reste constamment positif el il faut ])rendre £"^^-f-i. Alors, d'ajn-ès la troisième équation (i), on
\<)it immédiatement que -;- et/y doivent être de signes contraires,
ce qui, d'après la formule
— , — = criT driT, az
nionli'e que e'= — i .
Les valeurs de p, q. r sont des fonctions périodiques de l et
atlmelleiil la période
CIIAPITUE V.
Quaiul le Icnijis aiignicnle de celle (|iiiiiililé, p, q, r reprennent les mêmes valeurs; Taxe inslanlané de rolalion reprend alors sa posilion primitive dans le corps, mais non dans l'espace, comme nous le verrons plus loin.
Il faut maintenant calculer les trois angles d'Euler en fonction du temps. Pour simplifier le calcul, nous supposerons (pi'on ail
pris pour axe des x?, la direction invariable de l'axe Ot du moment résultant des quantités de mouvement. Ecrivons que les jirojeclions du segment Oa-= / sur les axes mobiles sont respectivement Ap, B(y, Cr, nous aurons
/ sinO sino =: A/?,
/ sin 6 coso = B^r,
l cosO = Gr;
(;ar les cosinus v, y', y" des angles de Ox, Oy, Oz avec O^, sont sinOsincp, sinflcoscp et cosB. Ces équations donnent, sans intéi^ration, 0 et cp en fonction de />, ^, r et, par suite, en fonction de t.
Calcul de l'angle de précessioii •}. — On a, d'après les équations du mouvement.
dt
liemplaçons, dans cette expression, p et q par leurs valeurs (3)
KTiDi: ni:s vai-kirs r k i: i, l k s de siw/, m//, dn//. nj-
•etcn-Tpar i — sh-t; rniiis ;i\ i>ns
,^ '^ (B-O — (B- A)snîT i/- ~ Il A( B — C ) — C( B — A ) sn-^T '
■ce quon peiil oiuorc écrire, cii cHecliiaiiL la di\ision,
d^ [xD ^ (G — A)rB — G)
{h ~ «G "^ «G A(B — G) — C(B— Âjsnî-t'
l'ôur mcLlrc en évitlonce les pcMcs de la fonction doublement ])ériodi(jue du second mcnihre, déterminons un argument constant ic vérifiant la relation
comme A >> B, la \aleur de snic est purement imaginaire : on peut donc prendre, pour l'argument ic, une valeur purement imaijinaire, et, par suite, pour c, une valeur réelle. Nous pourrons alors écrire
dà ixD [xD(G — AVB — G) i
dz « G /t G G ( B — A j su- ic — • sn- -:
D'après les relations élémentaires qui lient les fonctions sn, en. dn d'un même argument, on tire de (5)
cn^ ic =—-——-- , an- ic=- — — •
Evtrayant les racines carrées et tenant compte de la valeur de n,
■on trouve
. . ... |jlD (G — A)(B— G)
i sn ic cnic dnic = ■ — :r ^ , ,^ — r -•
nG G(B — A)
Il faudrait mettre un double signe devant le deuxième membre, mais, comme on peut changer le signe de ic sans que les relations antérieures soient changées, on peut toujours prendre le signe +
d'b devant le second membre. L'équation fini donne -~~- s'écrit alors
d'h a D i sn ic en ic d n ic d~ n (^ sn-ic — sn-T
Cette expression est maintenant aisée à intégrer : il suffit pour cela de décomposer le second membre en éléments simples. Or,
H)8 Cll.VPlTRi: V.
nous avons élahli. dans le n" 100, la formule 2 siirt en a tliirt
su' u — ?n-«
On a (Jonc, en faisanl a = ic, « = t, et désignant j)ar A la
, ,, [jlD .e(ic)
conslanlc réelle ^-— r — i — — ;— - »
nL B ( te )
■2 H ( if — -Z )
Intégrant et supposant les axes choisis de telle façon (|ue -^ s'annule avec t, on a enfin
H ( ic — - )
Les trois angles 0, o, 6 sont ainsi exprimés en fonction du Icmps, et l'on peut déterminer la position du corps à nn Inslanl quelconque. Les sinus et cosinus de ces trois angles s'expriment par des fonctions du temps qui sont ou uniformes ou racines carrées de fonctions uniformes. Mais il est très remarquable, comme l'a montré Jacobi, que les neuf cosinus a, [i, y, a', [3', y', a", ^", v" sont des fonctions uniformes du temps. Ce résultat peut s'établir comme il suit. Les formules (4) donnent déjà y, y', y" en fonction uniforme de t. On en conclut
D-Ji ou, en remplaçant/^- et q- par leurs valeurs,
/C(A-B)(D-G) / , A(B-G) ^'"^^^VD(A-C)(B-C)t/^"''~C(B-A/
D'après l'expression du module A- et les formules définissant sn-f'c, en- ic, dn-/c, on peut écrire
inO =
cl n ic
y/sa^': — sa- te
^lais on a obtenu la formule (n" 100)
62 (o) H(a — u)nia^u) sn^a — sn- u = — , — ; — -— :
KTUniC DKS VAMURS «KKM.KS DK SU», Cnil, (llW/. I'.)<)
en V rcinplaçaiît rt par t cl // par /V, et reinarqnatil cpic, par dcli-
lion, (Iii/r-=: ----- --—. — el V k = -—7—7' t»" lioiivc
e,(o) B{ic) ^ «1(0)
H,ro)
D'autre part, rexpressioii (-) doniKî
(loue
?'VsinO— — --: — — --— - — e"-^, «,(tc) 0(t)
., . „ tH,(o) Hi-z-hic) .,
e,(tc) e(T)
A l'aide de ces expressions 011 forme facilement les valeurs des cosinus a, a', a", |3, ^', |j", en fonctions du temps. Il suffit de partir des formules donnant ces cosinus en fonction des angles dEnler et dv remplacer ensuite les angles d'Iùilor |)ar leurs valeurs en fonction de t.
Nous trouverons plus loin ces mêmes cosinus par une autre voie.
Cas de dégénérescence. — La valeur du module est donnée par
(^e module est nt/l quand A = 13, c'est-à-dire (piand l'ellipsoïde d'inertie est de révolution. Les fonctions cIliptKpies deviennent alors des fonctions circulaires.
Le module est égal à ï unité quand D = B : dans ce cas les angles 0, cp, à et les neuf cosinus s'expriment comme il suit : la
gX g -T . . .
lonclion .v:sn-: devient ou —i tane^T, et les (onctions cn-r
et duT se réduisent à i/i — s- ou à -^- Eu introduisant un ar-
* costx
gument |)uremcnt imaginaire ic défini |)ar la relation (5), c'està-dire
^^""'^ "" C(A — B)' cos2c~C(A-B/
'iOO CIIAlMTRi; V.
un rotiiplaccra la fonmilo (6) par
cl')j uIJ lanjrc I
fl- "~ «G cos-c lang*c — tang^t-;:
iiiii donne, on inlouraiil rt desi^naiil par A la conslanle —-7 -i-langc,
, , / , sin(f — /-)
6 = A- Lo? -. ~- •
■2 ' sin ( f — 1-)
On déduit de là les expressions des neuf cosinus.
129. Herpolhodie. — Dans la représenlalion du niouvemenl, d'après Poinsot, la polhodie est une courbe algébrique ; chcrcbons les équations de Vherpolliodie ou lieu du pôle ni sur le plan fixe (').
En appelant x, y, z les coordonnées du pôle m j)ar rapport aux
axes principaux d inertie KJxyz. on a, |Miisque le rapport ^=7 — - est constant et égal à \' h ou y. ^ U,
Comme ^, q. r sont des fonctions elliptiques de /, il en est de même de x, y, z. Les équations d'Eulcr. dans lesquelles on remplace/>. q^ r par x<x^'\), y<j.\]\y, ^ay/D, donnent
(,o) A^ -+-|jiv/D(C — Bjv; = o, B^ — ;jLv/D(A — G)-.r = 0, ....
Appelons P la projection du point O sur le plan fixe II, qui contient Therpolbodie, et désignons par p et y les coordonnées polaires d'un ])oint m de la courbe rapportée au point P. Comme
on a les équations suivantes
(') Voir Ai'i'Ki.L. Mécanique, l. II, p. m ! cl suivanles.
KTLDK DKS V A M; l II S II K i: L L K S UE Snu, cnu, diu/.
dont la première ox|)riinc (inc O /n ^^V/n -f- OP , cl donl les dernières sont les é<|uali(nis i^ir la polliodie. Résolvant ces équalions par rajiporl à jr'-,y-, z-'-, on a, en posant
et
A = (A - Bj(n — C)(G — A)
