IV. — Cas du discriminant nkgvtif. Application géométriql'e

1 42. Étude de la courbe .r ~ pu, y = p' u, j" = 4 x^ — f^ix —■ g^. — Nous insisterons seulcmenl sur les difTérences que le cas de A^o présente avec le cas déjà étudié de A > o.

Si a: et jK sont tous deux réels, on peut toujours, en ajoutant des périodes, ramener l'argument à être réel et compris entre — a>2 et -i- iù> (n" 136). Quand on change a en — u, x ne change pas, y change de signe; la courbe est donc symétrique par rapport à Ox et il suffit de faire varier n de o à w^-

Quand u croît de o à co^, y est négatif, x décroît constamment de -t- X à e-2- I^a tangente au point situé sur Ox est parallèle à Oy\ la direction asymptolique est celle de Oy. On a donc la forme de courbe indiquée par lajîg. 19.

fig- 19-

La courbe n'a pas de points en dehors de la branche infinie, <;ommc cela se présentait dans le cas du discriminant positif.

Tangentes parallèles à Ox. — Les points où la tangente est |)arallèle àOx sont donnés par l'équation

p"(u) = Gx^ ^2 = 0,

X = pu,

Quand g2 est négatif, il n'y a pas de points où la tangente soit parallèle à Ojc.

Quand ^2 est positif, les deux valeurs de x qui annulent p' i/ sont réelles; mais pour qu'à une valeur réelle de x corresponde tino valeur réelle de j', il faut que Ton ait

Nous avons donc à chercher, en supposant o^o^o, combien Téquation

p" Il = 6^72 0-2=0

a de racines plus grandes que e-, et nous sommes ainsi conduits à substituer Co à la place de x dans le polynôme entier en x qui donne la valeur de j/«.

Ce polynôme se présente sous une forme plus commode, si l'on dérive par rapport à u les deux membres de l'identité

ji'-^u = ^{x — ei)i^x — ei){x — e^), x — pu. On trouve, après avoir supprimé le facteur commun pu,

- p"n = (x — e.2){x — 63) ~ (.r — ei)(x—e3)-{-{x — ei)(x — e^),

et la valeur du polynôme pour x ^ 62 est

{ei—ei)(e,— e3};

comme les deux facteurs Co — ^i, e-2^es sont imaginaires conjugués, le résultat de la substitution est positif. Donc e^ est supérieur à la plus grande racine ou inférieur à la plus petite, et comme ces deux racines sont de signes contraires, c'est le premier cas qui se présente quand <?2 est positif et le second quand 62 est négalif.^Le signe de 62 est le même que celui de g'^ puisque l'on a

ff3= 6163^2-

En définitive, pour qu'il existe sur la courbe des points où la tangente est parallèle à Ox, il faut et il suffit que l'on ait

gi> O, g3<0.

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 22')

Dans le cas contraire la courbe présente la forme de \di fig. 19.

Tangentes menées cV un point P. — Si le point P a pour paramètre r, les points de contact ont pour paramètres

Uo = > l'i = — 1- Wlj "> = r- 0), ■+- tU3, «3 = — - -f- 0)1.

Comme v est réel et que to, et (03 sont imaginaires conjugués, Uq et «2 sont réels, W| et u-i imaginaires conjugués.

Ainsi, par un point de la courbe, on ne peut mener que deux tangentes réelles à la courbe.

V. — Discriminant négatif: application au mouvement d'un projectile

DANS UN MILIEU DONT LA RÉSISTANCE EST PROPORTIONNELLE AU CUBE DE LA VITESSE ( ' ).

143. Équations différentielles et intégrales premières. — Prenons pour origine O la position initiale du projectile, pour direction de l'axe des x, la direction de la vitesse initiale, pour axe des y la verticale descendante. Soit a l'angle de Ox avec l'horizontale, a étant regardé comme positif quand Ox est au-dessus

de l'horizon : l'angle des axes est alors - 4- a. La résistance de ° 2

l'air est une force dirigée en sens inverse de la vitesse, et égale à

cv'^, V désignant la vitesse, et c une constante.

En désignant par jc el y les coordonnées du mobile, et par s

l'arc décrit sur la trajectoire à partir d'une origine fixe, la force

due à la résistance du milieu a pour projections sur les axes

Ox, Oj

~^ [d/J 'dl' ^ \dl) Ih'

ou bien

~'^\dt) It' ~'' \di) ITt' et les équations du mouvement sont

d- X / ds\- dx

(•) dï^=-'\di) Tt'

d^y ( dsy- dy

^''■^ dt^ ~ ""Vd'tl dt

(') Voir Greemiill, Fonctions elliptiques, traduction de Griess, p. 37J. A. ET L. i5

■iîB CHAPITRE VI.

Éliminons entre les équations (i) et (2) les termes qui proviennent de la résistance 5 il vient

d.T d^y dy d'^x dx

7/i 'dr^ ciï It^ ~ ^di '

ou bien, en posant u.^ ~- ,

du. dx

(3) ■£dj=^"-

D'autre part, en remplaçant, dans l'équation (1), ds par sa valeur tirée de

ds- = dy- — 2 dy dx sin a + dx-,

nous trouvons

d-^x /dxy, ,

puis, en tenant compte de l'équation (3),

e / dx\-'' d^x , „ . ^ du.

Les deux membres de l'équation (4) sont les dérivées de fonctions qui s'obtiennent immédiatement. Intégrons de o à ;, il vient

en remarquant que, d'après le choix des axes, [jl = o pour ; := o. Nous supposerons la vitesse initiale très grande, et nous néglige-

rons le terme 0 - ( -j-) de sorte que, en posant - = w^ et

P = [J.^ — 3 p.2 sin a 4- 3 [x, on a

L'équation (3) donne alors

i df = F^ da,

FONCTION J) A PÉIUODLS 1 M A G I N A I H E S CONJUGUÉES. i

el, en intégrant,

(6) &^fp-U^^f' it ^.

•^0 "» (|jt5— 3[JLïsina^ 3[jl)-»

D'autre part, en remarquant que l'équation (3) peut s'écrire

d.r \dt) "' * '

dx et en j remplaçant -j- par sa valeur tirée de (5), on trouve

puis

■^dy = [x P" 3 ^.ji,

et enfin, en intégrant,

(7) ^,T= f'' p-hiJ. = r ^

(8) ^r= / [^P 'dix= /

( \x^ — 3 tjL- si n a 4- 3 \i. )^

( [i.^ — J [JL- sin X 4- 3 jj. )*

Les équations (7) et (8) définissent la trajectoire au moyen de la variable auxiliaire y- d l'équation (6) donne la valeur de t pour chaque position du mobile. On voit de suite que le poljnome

\i{ii.- — 3 [A si n a — 3 )

n'a d'autres racines réelles que zéro, et l'on en conclut aisément que, quand a croît de o à + x, t ei y deviennent infinis, et x tend vers une limite : nous désignerons cette limite par^. Il est, en outre, facile de voir que la vitesse tend vers une valeur limite et que w est la valeur de cette limite. En effet, l'équation (5) montre que, pour [jl = co, on a

,. dx

w = lim a -.—

' dt

et l'égalité

[ds\^ fdx\^, „

Uj =\dïl (.-^-^I-sma + O