C HA PI TU K VI

(l.r 1 ■ • (Is 1 • •

montre cnsuilc que, .u. -7- avanl une liinilc, -7- a une limite qui est ' ^ (/( " en '■

la même.

Ainsi, la trajectoire admet une asymptote verticale, la droite X = a, et lorsque le mobile descend indéfiniment sur la branche de courbe asymptote à cette droite, la vitesse tend vers une valeur limite (v.

lii. Intégration par les fonctions elliptiques. — On peut ramener l'intégrale qui donne la valeur de ^ (équation 7) à une

intégrale elliptique ayant la forme canonique de M. Weierstrass. Pour cela, faisons la substitution

m-P^ fji- — 3[j.sina + 3

ni étant un facteur constant arbitraire. Nous pourrons déterminer gs de façon que, dans l'expression

( /i m^ — s^3)'x- — I2m^ u sina -+- lam^ 4^-- ^3 = '- ^ ,

le trinôme du second degré en [jl soit carré parfait; il suffit de

poser

4 ni^ — ^3 = 3 m^ sin- at, d'où

ê'3 = mH4 — 3 sin2a).

Il vient alors

/ , /T ^ — usina

v4 5-* — ^3 = /«Vj '

r et, en différentiant,

6z'-dz im^ v/ 3 f/ix

Celte équation peut s'écrire

dz m^ v/ 3 d\i. d[x i dx

en prenant m'- = \^ on a donc, en définitive, gx r'^ dz ^

FONCTION p \ PÉ RIO DES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2>Ç)

On en conclut

(ffX

puis, d'après l'expression de c/c,

^i{^^\ [Jtsina — 2

^y-^-} ^ — TTj. — '

Quand ^ est égal à l'abscisse a de l'asvmptote verticale, ijl = x, on a

, ( ga\ siiia ( "(^\ 1

et, par suite.

^^-^.)-^\^-^J -3ix

D'après cette dernière équation, on a

et en intégrant

dx.

C'est l'équation de la trajectoire.

Ecrivons u et v au lieu de ^ et de ^> l'équation prend la forme

gy ^ r Gp^-i'(fu

et nous allons pouvoir l'intégrer en appliquant la règle du n° 50. Pour rendre le dénominateur rationnel, multiplions par p'v+p'u les deux termes de la fraction sous le signe somme et tenons compte de ce que, g2 étant nul, on a p'-^v — p'^u = Hp^v — P^ii),

£ et £* étant les racines cubiques imaginaires de l'unité

23o CHAPITRE VI.

En opérant la décomposition en fractions simples, on a

p'v — p'u Mp^v-p^u) (I?-)

■XpV—pU ' •ï''tpV — pU '2 £2p<-- — pu

\ p'v—p'u 1 ^p\tV) + P'» , ' ,o,P' ("-'')-<-?'".

2 pp — pjf "^ 2 ' pCev») — P?' "^ 2 " P(^'''''j — ,P« ' car si dans la formule d'homogénéité

?[■;; i^*^2, v-^gi) -=\^-p{u\ gi, gi),

on fait ^2= o et ;jl = £ puis [ji = s-, et si l'on remarque que - =£^,

on trouve

piuz^; o, ^3) = £-p(«; o, ^3), p(«£; 0, ^3) = ^p(«; o, ^3),

puis, en prenant les dérivées

p'(«£2; o, ffs) -=p'(u; O, g-i),

p'{uz:. o, ^3) = p'(f<; o, ^3)- Des équations (i i) et (12), on conclut

«^2 J„ \i pv — pa "2 ps^- — p« "^" 1 pt'^v — pu )

Mais, si dans la formule d'addition pour tu \n° 41, éq. (65)], on change v en — r, il vient

- — — l(u — v) — tii-^tv.

1 pii — pv

Dans celte égalité changeons v en zv puis en s-t' et remarquons que, d'après la formule d'homogénéité (n° 36), ^{zv)^^ z-'Cv et 'C,[z'^v) = t^v, nous obtenons

I p'il ^ P'ZV ^ y or

' — l{u — zv) —lu -h z-^v,

2 pU — pZV

2 p« — ps-'t'

D'après cela l'équation (i3) peut s'écrire, en tenant compte de