FONCTION J> A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES

ce que i -j- s + £- csl nul,

g= r [-■iyv-^{u-i>)-tl(n-tv)-z^t:{u-t^^)]dn,

el l'on obtient enfin

tZ^-Zur.-Lo^-^^ sLog \^^ ^-.^Log ^^^^ .

L'expression chi temps ^ se trouve au moyen de l'équation (G) qui donne, par un calcul analogue,

• — ' '' ' . du

d'où

fft - 3'(P — ?0 ,. c'est- — k) , CfsV — //.)

— = — Log — î^- s2 Log — ^- — — t Log — ^,

145. Développement de jk et de ^ en séries entières ordonnées suivant les puissances de f/ = ^ -^« — Lorsqu'on se propose de développer y el t suivant les puissances entières de i/, il est commode d'emplojer la fonction

qui est égale à i pour // =: o. Il vient alors

^ =— LoQ'\/{u, t') — £2Log(j,(i<, £p)— £Log<];(?f, sU').

Prenons les dérivées logarithmiques et développons suivant les puissances de u par la formule de Tajlor :

en intégrant de nouveau, on obtient

Log^(M. (•)=— -jpp-j- —p'v—-fp"v-^..

3!- • 4 Donc, en remarquant que ff.,^ o et pev = tpv

Log <]/(?/, £P)

ol 4 !

(■20) Log4/(«, £2p) =— —^--P^' + 3TP'^— TT'P"^- •

On en conclut

Dans ces formules, on doit poser

^3= — (4 — 3sin2a),

pr =

p f = -sin;

Le discriminant étant négatif, les périodes de p s'expriment à l'aide des formules des n°' 137 et suivants.

Les dérivées j3"r, p'^r, ... se calculent par voie récurrente, en dérivant un nombre quelconque de fois la relation