I. — Intégrales elliptiques

146. Exemple élémentaire de la méthode employée pour calculer les intégrales elliptiques. — On démonlre, dans les éléments du Calcul inlégral, que l'intégrale d'une fonction rationnelle de x cl de la racine carrée dun trinôme du second degré y ax'--\-ibx-\-c peut être ramenée, par un changement de variable, à l'intégrale d'une fonction rationnelle ou à l'intégrale d'une fonction trigonométrique.

Plaçons-nous à ce dernier point de vue, pour rattacher à des notions élémentaires le problème que nous traitons dans ce Chapitre. Soit

(0 J'Ria;y)dx

une intégrale où R(x, jk) désigne une fonction rationnelle de x et )', y étant lié à x par l'équation

(2) y = \/ax'^'i- -20.

Si l'on fait un changement de variable, en prenant comme nouvelle variable k l'intégrale

dx

l'intégrale proposée (1) devient l'intégrale d'une fonction Irigonométrique. Pour le vérifier, écrivons

-=^'i/^Fir

ù- ■ — ac

et posons

sj b- — ac

il vient, en choisissant pour Xq la valeur qui annule z,

■ u = I " — j z. = sinlu,

Jo V — --

/ / i ^ v/^-— ac . , X /,- .

(4) x= -. sinÀ». y = - J 0- — accosku,

dx —y du.

Avec cette nouvelle variable u, l'intégrale (i) devient l'intégrale d'une fonction rationnelle de sinAw et cosA?/, intégrale que l'on sait calculer.

En employant un langage géométrique, on peut dire que l'équation (2) représente une conique, et que les formules (4) exjiriment les coordonnées d'un point de cette conique en fonctions uniformes de 11.

147. Intégrales elliptiques. — Considérons une intégrale de la forme

dx.

où R(x, y) est une fonction rationnelle des deux variables x ely liées par la relation

(6) y = \/aoX'*-^ ^a^x-^ -^ ôa^x'-i- ^UzX -^ a^,

dans laquelle le polynôme sous le radical est du quatrième ou du troisième degré. Une intégrale de ce genre s'appelle une intégrale elliptique. Les intégrales elliptiques ont fait l'objet des recherches de Legendre, avant la découverte des fonctions elliptiques par Abel. Pour les calculer, on peut faire un changement de variable en prenant comme nouvelle variable u l'intégrale

Les quantités x el y deviennent alors, comme nous le montrerons, des fonctions elliptiques de u et le calcul de l'intégrale (5)

INTÉGRALES ELMPTIQLKS. 235

est ramené an calcul tic l'inlcyrale d'une fonction elli[)tique, calcul que l'on sait faire à l'aide de la décomposition en éléments simples. En employant un langage géométrique, on peut dire que les coordonnées x et y d'un point de la courbe (G) s'expriment par des fonctions elliptiques de la variable u, ce qui [)ermet de transformer l'intégrale (5) en l'intégrale d'une fonction elliptique.

lis. Premières réductions de l'intégrale elliptique. — Dans la fonction rationnelle R(.r, j') on peut toujours remplacer les puissances paires dey par les puissances du polynôme

/2— a^x''-- 4 aix^-T- (jciiX^-i- ^azx -h- a;,

et ramener cette fonction à la forme

P, Q, P,, Q, désignant des polynômes en x. Si l'on multiplie et divise par P, — QiJ^ ^^ remplaçant encore y- par sa valeur, on obtient une expression de la forme

où R{x) et R((j:") sont des fonctions rationnelles de x. L'intégrale I se partage alors en deux parties

I = fRi^) dx -^ Çy Ri ix) dx,

dont la première s'obtient immédiatement, comme l'intégrale d'une fonction rationnelle. Quant à la seconde nous l'écrirons, en multipliant et divisant l'élément différentiel par y^

-Six)

dx,

S(x) étant une fonction rationnelle de x