II. — l'ORME NORMALi: DE LeGENDRE. INTÉGRALES DE JaCOBI

149. Forme normale de Legendre. — On dit qu'une intégrale elliptique est ramenée ù la forme normale de Legendre quand la

236 CHAPITRE vn.

racine carrée j^ est de la forme

où /. désigne une conslanle appelée le module. Dans les recherches théoriques, cette constante k a une valeur quelconque réelle ou imaginaire; dans les applications à la Géométrie, à la Physique, à la Mécanique, on peut, comme nous le verrons, la supposer réelle et moindre que l'unité.

La racine carrée j^ avant cette forme, voyons comment on peut calculer une intégrale de la forme

à laquelle on peut réduire toute intégrale elliptique, d'après le paragraphe précédent. Actuellement on peut encore, par des procédés algébriques, simplifier cette intégrale, en profitant de ce que y est la racine carrée d'un polynôme bicarré. La fonction rationnelle S(^) peut toujours s'écrire

où ê\. et iR( sont des fonctions rationnelles de x'-. L'intégrale

s'écrit alors

'S\.{x^)dx fx âli(x') dx

rSl{x^-)dx Ci

La deuxième intégrale se ramène immédiatement à une intégrale élémentaire par la substitution

x'-=z, qui donne l'expression

S^xi z)dz

où le polynôme sous le radical n'est plus que du second degré en Finalement, on est donc ramené à l'intégrale

S^(x-) dx r, ^-, T--, — 7-

INTKGIl.VLES ELLIPTIQUES. i.'iy

Si l'on y fait le changement de variable

r'dT r'' dr , ,.

elle devicnl

/ cR(sn2{<) du,

intégrale d'une fonction elliptif|uc aux périodes 2K et ii¥J. Pour la calculer, il faut décomposer la fonction elliptique en éléments simples, en procédant comme nous avons fait au n° 50 dans une question qui, au fond, est identique à la question actuelle. On décomposera d'abord la fonction rationnelle de x-, <R(x-), en fractions simples

où nous mettons à part les termes en x et en - quand ils existent;

la somme 2 est alors relative aux racines a qui sont différentes de zéro.

Faisant ensuite .3; = sn/^, on sera ramené à calculer les intégrales des types suivants

(8) / sn'-udu, I sn'mdu, .... / — -—, •••» / ^n-"udu. J J J sn2« J

où /i est un entier positif ou négatif,

r du r du r du

J sn-u — OL^ J ( sn- Jt — a )- ' ' J (sn^jf — a)/''

OÙ a est différent de zéro. Ces intégrales sont faciles à obtenir par la décomposition en éléments simples.

On peut, par voie récurrente, ramener toutes les intégrales du type (8) à la première de ce type. Quant aux intégrales du type (9), elles se déduisent de la première en la différentiant |)ar rapport à a. De là l'importance particulière des premières intégrales de chaque type. Nous allons les calculer.

•238 CHAPITRE Vil.

150. Intégrales de première, deuxième et troisième espèce, d'après Legendre et Jacobi. — i° On appelle intégrale de première rspcce linlt-grale

2° On appelle intégrale de deuxième espèce, Tinlégrale

' x"^ dx

qui devient, quand on y fait x = sn «,

r" k- I sn- Il du.

Cette intégrale, que Jacobi désigne parZ(«), a pour valeur (n° 100)

e7o) e'(u) " fc)(o) ~ e(M) *

Quand // augmente de aK ou de a/K' l'expression que nous venons de trouver pour l'intégrale de deuxième espèce éprouve des accroissements constants

.., .,.,re"(o) - 1

Le(o) sKK'J

que Ion appelle modules de périodicité de V intégrale de deuxième espèce. On en déduit la relation

KJ'JK'= -.

o^ On appelle intégrale de troisième espèce l'intégrale

r^ dx

Jo (^' — a)r'

qui devient, quand on y fait .r = sn u,

Jg sn2 if — a où a est différent de zéro. Pour la calculer, déterminons un argu-

IXTÉCIHALES ICLLIPTIQL'ES. i-il)

ment (f par la condition

sn'^rt — a,

nous aurons à calculer l'inléffrale

r" du

qui est donnée par la l'orniulc suivante établie au n" 100

, . snacnadna j U'(u~ a) i H'(«-^a) ©'(a)

sn-w — sii^rt -jt il (a — a) 2 li{u-ha) 6(«')'

d'où

'" sn^ cn(7 cln(7 (^/« \ ^ li(a — u) Q'(c)

/sna cna dna f/u i, ll(a — u) 6 (a'

sn-« — sn^rt -2 ^U{a-r-u) 0(«)

Si, dans la formule de décoïiiposition (10) on change a en a-r-iK', elle devient, d'après la relation

sn(i( -f- jK') =

A" sn i(

et la formule donnant H(// -^ /K') en fonction de Q{i/),

Pour désigner l'intégrale du premier membre prise de o à u, Jacobi emploie la notation !!( u, a) :

. ,. , r" sn^- udi U( u, a)^= K' snacna dna 1 7- — - —

sn- Il du

sn2«

= - Lofr — r -f- u -— •

4° Formule récurrente pou?' le calcul de 1 sn'-"urlu. — En calculant l'expression

fl r ^ „ 11

-7- rsn2"-3;f en u an u ,

et désignant, pour abréger, par s la fonction sn w, on trouve

24o CHAPITRE VII.

OU en ordonnant

(in — 3)SÎ«-i — (2/2 — 2)(l-f- A-2)s2«-2-+-(2/i — 1 ) A'- S"-".

En inlégranl on a sn^t-^ it en u dnu = (in — 3) / s-"-'* du

— ( •.>. /i — 2 ) ( l -h A-2 ) / s2«-2 du -h ( 2 /J — I ) A-2 ï s2« du,

formule qui permet de calculer toutes les intégrales / s-'^ du (que

/i soit positif ou négatif) en fonction des deux premières correspondant à /? = o, et « = I .