III. — RÉDICTION A LA FORME NORMALE DE LeGEXDRE

loi. Cas d'un polynôme bicarré. — Soit l'intégrale elliptique

OÙ S(x)est une fonction rationnelle de x, el y la racine carrée d'un poljnome bicarré

y ^ \/ \.x* -r- 2Ba;2-i- G.

On peut encore écrire, comme dans le paragraphe précédent,

onêi. et^fli sont des fonctions rationnelles de.r-. L'intégrale prend alors la forme

S>^{x'-) j r.rc!R,(3"2)

dx.

La deuxième intégrale devient une intégrale élémentaire par la substitution

Il reste donc à calculer l'intéffrale

3i(x^-)dx

INTKGRAMCS ELLIPTIQUES. •;• .j r

SI l'on nes'aslrcinl pas à n'iiilroduirc que des éléments réels, celle inlé;j^ralc se ramène imniédialomenl à la forme normale de Lécendre. On a, en ellet. eu décoMjposanl le polynôme hicarré en f'acIcuiN

y. el ,3 pouvant élre imaginairc^s. Si l'on fail ensuite

y = x'^/\^{i — zi){i — A^z-i). /' = !'

el l'intégrale devient

elle est réduite à la forme normale de Legendre et on la calcule, comme dans le paragraphe précédent, en faisant

Alors on a

= sn (a, A

■r = a z = u. sn it . \/y.- — x' = y. en ii,

^/pi-j-i= ^v/i- /.■^-^= 3 (In M, y = a[il \/X cil II (In //,

-1= r.fl

I = — / A('x- i^n-ii) rlif.

lo'2. Réduction à la forme normale en quantités réelles, dans le cas d'un polynôme bicarré de la forme A{x--h 'x){:v--h 'i): A, a et 3 étant réels. — Supposons que l'on ait

A. M. C étant réels et 15- — \C positif: on peut alors écrire

y. el ,3 étant réels. Plusieurs cas sont à distinguer suivant les signes des quantités \. a cl ,3. Comme on peut toujours, devant le radical, mettre \ =t A en facteur, on a pour j- les types suivants où a

\. ET L. i6

l^î CHAPITUK VII.

et b désigncnl des quanlilés réelles

(in y = \/{a'- — x^- )ix-i— b^ ),

tlll) r =/(«- — -r2)(a-2-t- 62)^

lIV) ^ = v/( .r-^— rt-* K-Ï-- -H 62),

( V ) J- =: v/(^2-i-rt2)(a72-l-62).

Voici, pour cliacun de ces types, une substitution réelle propre à ramener l'intégrale

Si(xi)

dx

à la forme canonique de Legendre.

Type I . — Soit

La quantité y devant être réelle, JC- est extérieur à rintervalle rt-, b^. Deux cas sont à distinguer suivant que x- est inférieur à 6ou supérieur à a-.

Premier cas : x- < b'-. — On fait x =i bz\ et l'on a

Le radical est donc ramené à la forme demandée avec un module réel moindre que Tunité. Faisant ensuite

^ = sn u.

on a

T = 6sn«, \/b- — x'^=bct\i(, \/a- — x-=adnu, y ^ ab en u dnu,

I = — I Siib'^ sn- u ) du.

Deuxième cas : a;-> a-. — Posons

nous avons a

y = ^- \/{l — ^2^(1 — /.-■s'^), d'X = — — dz,