INTÉGRALES E L L I PT I Q L E S

Le radical est encore ramené à la forme demandée, el en posant

z =z Sri //, on a

rt /—■ cnu /—- ;- lin»

sn H sn« sn «

„ en M dnu

sn-M

Jyfn' II . — Soit

Pour que j' soit réel, il faut (|uc .r- soit compris entre a- et h-. Il suffit de faire

a- — x- = x'-, x'-<Ca- — b-,

pour ramener l'intégrale

à\.(x-) dx

x- ){x- — b- ) à l'intégrale

J vA«- — x'')(a- — b-—x'-) ipii rentre dans le tjpe I.

Type III. — L'intégrale

se ramène de même au type I par la substitution

a- — :r2 = x-, cjui donne 1 intégrale

J y/ia'- — x'^ H«- -i- ^* — ^'^ ) Type IW — Lintégrale

/ dx^ x^'^a-,

J s/{xi—a^){x*-^b'-)

pou van l >'ôcrlre

aÙ

ClIAPITRK VII.

dx

cst du tvpc III si l'on y considère - comme la variable. On la lamèncra donc au type I par la siibstilulion

Type V. — Enfin l'intégrale

-dx, a2> 6-

\/{x--r- a-){x''i- b- ) se ramène également au type T par la subslilulion

qui la transforme en

S{.(x'-^— o^-) dx'

lo3. Réduction à la forme canonique de Legendre en quantités réelles quand y est la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré. — Nous allons montrer que l'on peut toujours, par une substitution réelle, transformer un poljnome du quatrième degré à coefficients réels en un polynôme bicarré de la forme

A, a et j étant réels. On sera alors ramené au cas précédent.

On saitf[u'an polynôme du quatrième degré, à coefficients réels, peut être décomposé, au moins d'une manière, en un produit de facteurs réels du second degré. On peut donc supposer

y — \/C{x--h iinx -r- n)(x- -+- i[xj- -r- v),

(], m. n, a, v étant réels. Faisons x = -, l étant la nouvelle

variable, p ei q deux constantes. En substituant dans y et réduisant au même dénominateur, nous aurons sous le radical le pro-

I NTKO u M,i:s KLMPT lor i:s. 245

(liiil de deii\ Irinomes en /. Déterminons p el q de faron que ces irlnonies ne conlienncnl pas de termes du premier degré en / : nous aurons les deux équations

i /'7 ~T- ni(p -\~ q) -{- n ~ 0,