NI

IddikmiI

/i — -/ m ■/ — Il

\x — m ' ^ \x — ni

Les quantités p et fj sont donc racines d'une é(|uation du second degré; pour cju^elles soient réelles, il faut et il sufllt (|ue la f[uantilé

soit posilàe. Nous allons vérifier que, si le poljnome du quatrième degré en x n'est décomposable que d'une façon en facteurs réels du second degré A, ai positif ; et que si celle décomposition est possible de plusieurs façons, ou peut toujours la faire de telle manière que A soit positif. En effet, appelons a, b, c, d les (piatre racines de ce polvnome, a et b étant les racines de X- -\- 2 m X -\- n , c el d celles de X--+- i\x.x 4- v. On a

im ■— — {a -^ h j, Il — ab, i\x = — ( c -t- d), v — cd.

Substituant dans A, on trouve

A = Crt — c)ya — d){b — c){ù — d ).

Si a, bj c, d sont imaginaires, a et b sont conjugués, c et d aussi ; A est positif.

Si a el b sont réels, c el d imaginaires conjugués, A est posilif.

Si les quatre racines sont réelles, on peut décomposer le polynôme du quatrième degré en x de trois façons différentes en deux facteurs réels du second degré : supposons qu'on ail fait la décomposition de façon que « >- />^ c > d; alors A est posilil.

Ainsi, dans tous les cas, après liulroduclion delà nouvelle variable /, )■ prend la forme

= -~ î^ (A, a, i étant recis);