CllAIMïRK VII. — INTÉGR.VLKS ELLIPTIQUES

et rinléiirale

devient

p-hqt

{q-I» I ^ '"*"^ '=dt.

On la ranuncra à la formo canonique de Legendre par une des Iransforma lions indiquées dans le numéro précédent.

Remarque . — Si l'on considère x comme l'abscisse d'un point sur une droite, la détermination des valeurs de p et q revient à la recherche des abscisses des points qui divisent harmoniquement les deux couples de points ayant pour abscisses les racines des deux innomes

x- -{-'inix -^ n, x--{- •> \xx -\-v.

15i. Cas où le polynôme sous le radical est du troisième degré. — Si l'on a une intégrale elliptique

S(x)dx

avec

y = \/ax'^-\- 3bx'^ -h 3cx -h d.

on peut encore, par une substitution réelle, ramener cette intégrale à la forme canonique de Legendre. Le poljnome sous le radical avant toujours une racine réelle a, il suffit de faire

pour être ramené à une intégrale dans laquelle figure la racine carrée d'un polynôme bicarré en l.

^fais, dans ce cas, il est plus simple d'employer la forme normale de ^L Weierstrass, comme on le verra dans le Chapitre suivant.

lU'DUCTION A LA FORME NORMALE DE ^L WEIERSTRÂSS. LNVERSION.

\. — Le POLVNOMii: sous le radical est du troisilme degré.

155. Réduction à la forme normale. — Soit à calculer riiUégrale

rï\{x)d.r > , - , , , . . , ,

/ — — > OU A est un nolvnome du troisième cleffre

Si nous effectuons dans X la substitution

nous pourrons disposer des constantes m et n de façon que le poljnome Z transformé de X soit de la forme

"■2 el ,^:i désignant des coefficients constants. On reconnaît immédiatement qu'il suffit de poser

On voit alors que l'on est ramené à considérer une intégrale

?>(z)dz

r ?>(z)dz

S(c) désignant une fonction rationnelle de z. On dit qu'une intégrale de cette forme est de la forme canonique de M. VVeierstrass.

>i8 ciiviMT nE VI II.

Si 1 on pose ensiiilo

r " dz it = / ,- '

on on lire, en l'aisanl l'inversion,

ol linlégrale elli|)li([iio I devient

I = / S(p») du,

S(j3M)élanl une fonclion rationnelle de pu. On ealculera cette intégrale par la méthode de décomposition en éléments simples, comme on l'a expliqué au n"* 30.

Les périodes de la fonclion pu se calculent d'après les lorniules du Cha|)ilre VI.

loO. Remarques sur l'inversion. — iNous avons vu, dès le début de cet Ouvrage, que, si l'on construit la fonction pu avec deux périodes arbitraires ato et 2iu' de rapport imaginaire, cette fonction z = pu vérifie une équation de la forme

^■> et gi étant des constantes définies en fonctio n des périodes par certaines séries. Inversement, étant donnée une équation de cette forme où g<^ et ^3 ont des valeurs déterminées choisies arbitrairement, on peut toujours construire une fonction p(w; g2' gs vérifiant cette équation. Cela résulte, comme nous l'avons dé à remarqué au n" 34, de ce que la fonction du est représentée par une série entière en ?<, g2, gi convergente qiielles que soient ces quantités et que la fonction

j"'- If — -^ f/ n" Il

vérifie 'é qualion (1) quels que soient g^ et g-^.

Nous allons rappeler comment, g.;> et ^3 ayant des valeurs réelles quelconques, on p eut calculer une paire de périodes pri-

Il l':i) ICT ION A I. V F (111 mi: NOHMAI, L i)E .M. WIÎI ICRSTn ASS. >.\\}

iiiilivcs de pu cl vérllier (|tie la (onclion pu, conslriiilc a\cc ces périodes, salisfail bien à réqualion (i ).

Fkemieu cas : Dtscriiniiuinl positif. — Snj^posons que dans réqualion

du) ^ i^'-^^^-^:..

i;> el ^:t soient réels et que le discriniinanl du second membre A = ^ il — '*-~j 8~i ^^^^ positif. Les racines e,, ^^^ ^a sont réelles. Déterminons les valeurs to et (o' par les égalités

,lz

(o ' r ^ ' dz

V I - — Si-' -^ Si

de sorte que w el-r-sonl des quantités réelles et positives, <'l

construisons la fonction pu qui admet pour périodes primitives ■'. O), 2co'.

Cette fonction pu satisfait à une équation différentielle

latis lacjiielle Go el G3 ont des valeurs réelles rendant le discriiiiiii;int Cil — ^-7^s |>o>itif. Il s'agit de démontrer que Ton a

G» = Si^ G3 = fr-i.

Pour cela, rappelons fjue les demi-périodes oj el ui' de la fonction pu peuvent se déduire des coefficients de l'équation différentielle vi'riliée par celle fonclion au moyen des égalités

o/ r^' dz

' ~J-v., /4--' — GiS-^ô;'

en désignant par E| la plus grande et |)ar E;j la plus petite des racines du polynôme 4-' — Cj.,z — G;,. En com|)arant ces ex-

pressions de to el de -r aux intégrales (2) et (3) qui ont servi de définition à ces quantités, on est conduit aux égalités

gi -'-E

Mais, d'après le raisonnement fait au n" lil, les égalités précédentes exigent que l'on ait

el, par suite,

Ei=ri. E., = 62. £3=63.

G2 = gi, G3 = ^3.

Donc ["équation dinéientielie donnée est vérifiée par la fonction pu qui admet pour périodes primitives 2(0 et 2(0', co et -^ se

déduisant des coefficients de l'équation donnée à laide des intégrales (2) et (3).

Deuxiîcmecas : Dlscruniaaiit négatif. — Étant donnée l'équation difTérentielle

dans laquelle g^ 6t ^";t sont réels, et tels que Ion ait

nous allons construire une fonction pu vérifiant cette équation différentielle.

Soient e<i, la racine réelle, gj, 63 les deux racines imaginaires conjuguées de 4-^' — g-^^z — g■^^=■ o; posons

puis

COo-T- (o!,

REDUCTION A LA FORMIC NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 25 1

et construisons la fonction pu qui admet pour périodes primitives