J, , 2 CO

Cette fonction pu satisfait à une c quation dilTérentielle

les périodes aW) , 2(03 étant imaginaires conjuguées, on sait que Gî et G;( sont réels cl que le polynôme 4-'' — ^^^ — G^ admri une seule racine réelle : soient Eo la racine réelle, E,, E^ les racines imaginaires conjuguées de ce polynôme; de plus, on a

riz

Il s'agit de démontrer que Go et G;! sont égaux respectivement :"' ^i et g-i.

D'après ce qui précède, on doit avoir

dz r^" dz

■'.■, \/{z — ei){z — e^)( z — 1-3) '-'f..

v/(--Ë,)(2 — EOCs-Ks)

dz

</yz-^ei){z-^e.y){z-^es} J-v., v/( = + E,}(2 ^ E. )(s + E3)

Mais nous avons vu (n" 139) que ces égalités ne peuvent avoir lieu que si Eo, E,, E3 sont égaux respectivement à e-2, e,, e,^ et par suite si l'on a

Donc la fonction j)w que nous avons cons iruile avec les périodes 2to,, 20)3 satisfait à l'équation dilFéren tlelle donnée.

II- — Lk POLYNOME sous LE RADICAL EST DU QUATRIÈME DEGRÉ. Pni-MIKR MODE DE RÉDUCTION OU l'oN NE SE PRÉOCCUPE PAS DE LA RÉALITÉ.

On a déjà donné n" 132 une méthode pour faire l'inversion de

/dz ...

- — -^^' — en se servant des fonctions de Jacobi. Mais, s/F(z)

pour appliquer celle niélhode clans le cas général, il faul ilocomposcr F(r) en un produit de deux fadeurs du second degré, ce qui conduit à résoudre une équation du troisième degré. 11 y a intérêt à éviter cette question auxiliaire, surtout lorsque le |^<>l,vnonie du quatrième degré F^^c) n'a pas ses coeflicients numériques et contient des constantes arbitraires, comme cela se présente souvent dans les problèmes de Mécanique. Cette diniculté se trouve écartée quand on fait l'inversion en se servant des fonctions de M. Weierslrass.