Cas particulier. — Parmi les formes diverses que peut

prendre la formule daddition de la fonction j3m, nous avons ob-

liMiu la suivante (u" io)

pu — p{it -T-V)= - — — •

■' ■• ^ X du \pu — pv J

Si donc on pose

2 P II — J-» t'

en lesrai'dant v comme une constante et t comme une fonction do u.

celte fonction vérifie l'équation différentielle / dt "^

Nous allons exprimer le second membre en fonction de l et v('rilier qu'il est un polynôme du quatrième degré en /.

Dans tout ce qui suit nous rendrons les résultats plus faciles à retenir en emplovant une représentation géométrique.

(Considérons la cubique

y'-= '^.r■i — g.x — g^, décrite par le point de coordonnées

X = p u , y — )>' II,

cubique étudiée aux n"^ o8 et suivants. Coupons cette courbe \idv une sécante passant par un point fixe P de paramètre v et un point variable de paramètre «; le coefficient angulaire de la sécante est

it i;i)LrTU):< \ i. \ ioumi: noumvi.i: d i: m. \v ici khstu ass. >.')3

cl le Iroisièmc point d iiih rscclioii a j)Oih' paramètre — (//-j-r) (n°60). Nous avons ohlcim dans le n" GO des formules (pi'ori peiil éerirc. en v reinplacanl /f par •>./,

I |w/ — j)r II ])(»-+- r)j)(i'jj = ^(p\' — -j,(p\')-

CCS identités montrent que j) // — pv cl p(ii -\- i-) — pc sont r.ieiiios d'une équation du second degré ayant pour coefncienls des polvnoines on t. \in élevant lu première au carré et en en relraniliant le (piadruple de la seconde, on a

\pti — p( u -^ ly )]- = ( t- — 3pfj- — '-iCji"'" — >'( p' ^ ). cl I équation dinércnticlle rpie vérifie t peut s'écrire

en pillant

J\f) = (/2 ■3j),.^2,(j/',. .>;jyp).

Les racines de ce poljnomey'f/) sont les moitiés des coefficients an^^ulaires des tangentes menées du j)()int Pà la cubique; en cflet. si t devient égal à une de ces racines, on a pu = p(^u -\- v)^ et la sécante de coefficient angulaire 2t coupe la cubique en deux points confondus.

En résumé, si t est défini en fonction de n par l'équation

au =

/ peut s'exprimer en fonction uniforme doublement périodique de it par la formule (i) et il en est de même de \'/{f), qui est é-iale îi , • On exprime ce résultat en disant (lu'on a résolu le pro-

bième de linversion pour le polynôme /{l)- Ce polynôme du <|ualrième degré en t ne renferme pas de terme en l^ et contient trois constantes arbitraires, qui sont l'argument v et les deux invariants ^2 <'l 0^3 de la fonction p.

Nous allons voir que, si le polvnomc sous le radical est un poix nome du quatrième degré qnelconf[ue, on peut toujours, après en avoir (ait disparaître le terme en t\ l'idenlilicr avec /(!)• Le

•254 cii.vi'iTiui: VIII.

cas particulier que nous venons de traiter nous donnera donc la solullon du problème de l'inversion pour un polynôme du quatrième degré quelconque.

158. Le cas général ramené au cas particiilier précédent. — Soit un polynôme donné du quatrième degré

débarrassé du terme en t^. En Tidentifiant avec le polynôme /(/) du numéro précédent, on trouve, en vertu de 2 p"t^ =: i2j3-c — i,'^,

pt'=— ao. pV = as, g^—3p-v = (X:,.

La dernière de ces égalités peut être remplacée par la suivante

g,= ai+ 3al,

cl Ton voit que les trois constantes pv, p' v et g2 se trouvent déterminées. La valeur de g^ peut se déduire de l'équation

elle est égale à

^3= aoXv— ag — 2^

On a donc, pour identifier les deux polynômes, les relations concordantes

pt'= — a,. p'^- = 3:j.

Ces relations définissent les deux invariants g.j et gs et 1 argument constant v.

Si le polynôme donné est un polynôme F(c) renfermant un terme du troisième degré

F(.;) = ao-'*-r- 4«1 -^^-i- 6«2-=--t- 4«3- -H «1.

on fera disparaître le second terme en posant on a alors

nKDLCTION A I. A IH) K M IC N O U M A I, i; I) K M. W IC I K n ST R A SS . 05 (U"l

^v'^'o — \ n '^ a i a 3 -h 6 no ri 0 a f — iai

On trouve enfin, pour ^'j et i.'^, les expressions suivantes

fi"" = a, H- j aj z= —■ ,

.^3= 0(2 a..— a.-— a;] = —, en posant

S = ao«i — 4^1 «3+3(75,

T = ao'^2«4-*- ■^«l«2«3 «î «0^3 «J «4.

Remarque. — S et T sont les invariants du poljnonie

ao «;'•-+- 4^1-3^-1- t> «2-'" -i- 4 <"'3^ -T- «4'

Si l'on caleule les valeurs particulières de S et de T pour le polynôme

fit) = t'*—^st-]^v -h \tp'v -H ^, — spn-,

on trouve g^ et g.:^.

On obtiendrait donc immédiatement les relations donnant g-, et g'x en égalant les valeurs des invariants des deux polynômes que l'on veut identifier.

Les expressions de pv et de p' v en fonction de «o? «i> (f-i-, d^^ a ^ s'obtiennent de même en remplaçant a^, as, à,, par leurs valeurs; on peut alors énoncer la règle suivante :

159. Règle. — Soit F(:;) un polynôme du quatrième degré quclconcjuc

F( z) = «0-3* -i- liai z^ -h ùaiZ^-h i^asZ -h a,,

et soient S et T les fonctions suivantes des coefficients de ce polynôme

S = rto « V — 4 « 1 «3 ■+" 3 « ! ,

T = aja2«4^- iciiaiOi — a}, — aga? — af «4.

•>.56 CUAPITIIK VIII.

Si Ton prond k'S lonclions elliptiques ayant pour invariants

et un aii^iunenl constant c défini par les égalités

et si l'on pose on a

pin

—=^ (lu

y/F(3J= \Ut,,\]Mt — p{ll -^D],

r/.s II r dz

"PXT) /'

u Ç dz

ce qui donne la solution du problème de l'inversion pour le polynôme du quatrième degré F(;).

A un point de vue géométrique, ces formules peuvent aussi s'interpréter comme il suit :

Si l'on considère la courbe du quatrième ordre

les coordonnées Z et r d'un point de celte courbe peuvent s'exprimer en fonctions uniformes du paramètre u par les formules

Z = s/«u [pu — p{u-{-i>)].