Fraction rationnelle particulière. — La fonclion

est régulière à distance finie en tous les points autres que w = i, Il = 2. Ces deux points sont des pôles de premier ordre. La partie principale relative au pôle u = i est

en effet on vérifie immédiatement que la différence /"u/) — '^{{^i) est régulière au point u^i. Le résidu relatif au pôle u = i est — I. De même la partie principale relative au pôle u=:2 est

avec le résidu 2. Au point ce la fonction est régulière, car

est régulière au point u'^o. On voit que u' =zo, c'est-à-dire u=:cc est un zéro simple. La fonction /(u) a donc deux pôles simples ;/==!, a =z 9. ci deux zéros simples « = o, ^f ^ oo : on dit qu'elle est d ordre 2. On peut remarquer que l'équation

a deux racines quelle que soit la constante C.

Comme les fonctions 'J|(«) et '~>i{ii) sont régulières partout à distance finie et infinie, excepté aux pôles respectifs i et 2, la différence

est régulière partout à dislance finie et infinie, y compris les pôles I et 2, d'après la définition des parties principales '^, et Oo. Cette différence est donc une constante et, comme elle s'annule à l'infini, puisque chacune des fonctions /, o,, Oo s'j annule, elle

est égale à zcro. Oa a donc

formule que donnerait imniédialement la décomposition de la fraction rationnelle en fractions simples.

10. Cas général. Pôles et zéros. Ordre. — Une fraction rationnelle

. a.ii"'-^n,n>"-\ — . . .-!- a,„ Put )

OÙ P et Q sont deux polynômes de degrés m et n, est une fonction qui, à distance finie et infinie, n'a d'autres points singuliers que des pôles. A distance finie elle a comme pôles les racines de Q(i^)=o : le nombre des pôles à distance finie, en comptant chacun deux avec son degré de multiplicité, est donc n.

i" Si m >> /?, le point ce est un pôle d'ordre m — «.Le nombre total des pôles à distance finie et infinie est donc

n -{-{m — ii)= m.

11 y a aussi m zéros qui sont les racines de P(w)= o. La fraction a donc m pôles et m zéros : on dit qu'elle est d'ordre m. L'équation J'Çu)=^ C a ?)i racines quel que soit C.

2" Si n > m le point oo est un zéro d'ordre n — m. La fraction a alors n pôles et un nombre égal de zéros, car il y en a m à distance finie [les racines de P(m)] et /i — m réunis à l'infini. La fraction est d'ordre n; l'équation /(«)= C a toujours n racines.

3° Si m = n, le point x n'est ni un pôle ni un zéro : il y a encore autant de zéros que d'infinis : la fraction est d'ordre m = n.

En résumé une fonction rationnelle /{u) a toujours dans tout le plan, l'infini compris, autant de pôles que de zéros; le nombre des pôles ou des zéros est Tordre de la fraction : réquationy(f/)^ C, a, quel que soit C, un nombre de racines égal à V ordre.

1 1 . Formes analytiques principales des fractions rationnelles. — On peut mettre une fraction rationnelle sous deux formes dif-

iV-rcnlcs suivanl (juc l'on vciil incUrc en évidence les pùles cl les parlics principales, ou les pôles et les zéros.

i" Première forme mettant en c^ndence les pôles et les parties principales correspondantes. Décomposition en fractions simples. — Appelons r/, />, . . . , / les pôles à distance finie respectivement d'ordre a, ^, . . . , A et

'Mu)

H H, Bp-i

— b (u — byi i^a — t))'^'

les parties principales correspondantes. Supposons, pour plus de généralité, que le point x soit un pôle, ce qui arrive si m >> «; et soit

la partie principale relative à ce pôle

Chacune de ces parties principales est régulière partout excepté au pôle correspondant. La difTérence

(5) f{u) — ^i{u) — Oi{u) —. . .— m{ u)

est donc régulière partout à distance finie et infinie. En effet, au pôle a la différence /(;/) — '^, («) est régulière et les fonctions '^o, . . ., Ttj le sont. Il en est de même aux pôles b, . . . , /.

A l'infini, la difterence f{u) — cî(m) est régulière et les fonctions '^,, cp2, ... le sont aussi. Donc la différence (5), régulière partout, est une constante Mo, et l'on a

/(;<)= Mo +ra(«) -|-Ol( m) + <P2 («)-!-• .-,

la somme S étant étendue à tous les pôles à distance finie.

On retrouve ainsi la formule élémentaire de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples : elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes, elle donne immédiatement l'intégrale d'une fraction rationnelle.

lo 0 11 MM T nie I.

On pcuL écrire

f(u) = Mo -H > h ... -4- ; ^~\„ »

l;i somme S élanl élcndue à tous les pôles à dislancc finie et infinie, si l'on convicnl que pour un p«Me a rejeté à l'infini -— — doive être remplacé par k, ou en abrégé que

// — a = — quaiul a = x.

On remarquera que l'on peut prendre arbitrairement les parties principales relatives à tous les pôles; à cet égard il y a une légère différence pour les fonctions elliptiques.

2° Deuxième forme mettant en évidence les zéros et les infinis. — La deuxième forme qu'on peut donner à une fraction rationnelle met en évidence les zéros et les infinis. Il suffit pour cela de décomposer les polynômes P et Q, qui forment le numérateur et le dénominateur de la fraction, en facteurs du premier degré

où certains facteurs peuvent être égaux.

3° La seconde forme déduite de la première. — Soit/(«) la fraction rationnelle considérée ayant pour zéros a,, ao, . . . , a„, et pour pôles ^i , po, . . . , ^«.

La fonction ^ — - est aussi une fraction rationnelle ayant pour

pôles simples les zéros et les infinis de f{u) (n" 3), les zéros simples avec le résidu +1 et les pôles simples avec le résidu — i.

En mettant alors •^,, " sous la première forme (décomposition

en fractions simples) on a

fju) ^ i i ^ I

f{u) u — ai u — y.i ••• • j^ — j^^^^

u — jji u — 'p-î ' ' ' u — fi„

NOT IONS i>ii i:i,i M I N A I m: S.

Intégrant et passant des loj,'aiit limes aux nombres, on retrouve rex|)ression (y).

l!2. Remarque. — Nous venons de voir qu'une fraction rationnelle n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance Unie et infinie. La réciproque est vraie. Une fonction uniforme n'ayant d'autres singularités à distance finie et infinie que des pôles est une fraction rationnelle. Nous nous bornons à rappeler ce théorème dont nous n'aurons pas à nous servir.

i3. Relation algébrique entre deux fractions rationnelles. Théorème d'addition algébrique. — Entre deux fractions rationnelles

a lieu une relation algébrique définissant une courbe unicursale, c'est-à-dire une courbe ayant le plus de points doubles possible. En outre, une fonction rationnelle /"(« ) admet un théorème d'addition algébrique, c'est-à-dire que, u et v désignant deux variables indépendantes, f(u -f- r) est une fonction algébrique de ./('Oet/(r).