III. — Fonctions trigono.métriques
li. Objet du paragraphe. — Nous allons présenter les points fondamentaux de la théorie des fonctions trigonométriques, en suivant une voie identique à celle que nous suivrons dans le Chapitre suivant pour les fonctions elliptiques.
lo. Fonction sin«, sa définition par un produit infini. Fonctions
cet u et -. — — , leurs expressions par des séries. Périodicité de ces
-\iï-u •^ '■
fonctions. — La fonction s\nu est régulière en tous les points à distance finie. Elle s'annule aux points
C'est ce que met en évidence la formule suivante que nous supposons connue et que nous considérons comme servant de
12 Cil A PITRE I.
dt'lînition à sin //
1 — ic""^
nir.
(8) sin?/ = ;/JJJ
le produit W étant étendu à toutes les valeurs de l'entier m de
— 30 à 4- X, la valeur /?? = o exceptée. Grâce à la présence du
facteur c"'~, le produit II' est convergent quel que soit l'ordre des facteurs. Cette fonction sin m est impaire, c'est ce qu'on voit sur le produit (8). En elTet, comme m prend toutes les valeurs de
— 00 à H- 00, on peut le changer de signe et écrire
I , \ Il
sin u — u\\ ( I H ) e '" '^.
Changeant ensuite u en — u on voit, en comparant à (8), que sin( — u) est égal à — sin«/.
Le point oc est un point singulier essentiel de sinu : en effet, si
l'on fait M ^ — > on voit que, dans une aire aussi petite qu'on le
veut entourant le point n' ^=o, la fonction sin — admet une infinité ^ u
de zéros n' = — -- D'après ce que nous avons vu (n" 7) le point 11'::= o est donc un point singulier essentiel.
Fonction colu. — La fonction colii se déduit de sinw, par la formule
colu = -7- lo" sin u.
au
D'après la formule (8), on a donc pour colu la série
U \U Tl - / \ u 2 ~ i - /
cotu
ou, sous forme condensée,
(9) COlU= H 7 ( i ]y
la somme I' étant étendue à toutes les valeurs de l'entier m
NOTIONS IMIKMM IN.VI RES. l3
de — oc à + oc, la valeur zéro exceptée. La foaction col« est aussi impaire. Le développement (9) montre qu'elle a pour pôles simples tous les points o, zh -, ±'>.t., ..., le résidu relatif à chacun de ces pôles étant 1. Par exemple, le point u=r. est un
j)ôle, et la différence
coiu
est régulière au point u^=-.La formule (9) met donc en évidence les pôles et les parties principales correspondantes de la fonction. Le point a = zc est un point singulier essentiel pour colu comme pour sin u.
Fonction . , • — La fonction un- u
. , ■ = ï- cet u = —- -h y
sin-u du u- ^ in — m-y
esl i)aire. Elle a pour pôles doubles tous les points o, ± tt, riz 27:, ...; la partie principale relative au pôle u = mr. est
{U — ni-)-
Périodicité. — Des formules précédentes on peut déduire facilement la périodicité des fonctions circulaires. Tout d'abord
le développement (10) de . , ■ montre immédiatement que cette
fonction ne change pas quand on ajoute t: à u, car cela ne fait que dép'acer les termes du second membre.
On voit de même que la cotangente admet la période 7:5 en effet, formant la différence cot(« -\- t.) — cot«, on trouve
(^--■)^fi — '-)-{- '—)-•■•
somme qui est évidemment nulle, car les termes se détruisent deux à deux.
Enfin de la relation
COl{U -+- T) = col«,
I I ru \prr»i: i.
tjue nous venons d'établir, on peut déduire la périodicité de la fonction sinw. En effet, en intégrant les deux membres de la relation ci-dessus, on a
log sin(« -1- t)= log sin a -+- logC, sin(« -f- -)= G sin »,
oîi C est une constante. Pour déterminer cette constante, faisons
II =z — -, nous aurons
sin — = C sin ( ):
et comme la fonction sin// est impaire on a
D'où la formule
sin(K -^ -) = — sin u.
Développements en séries de puissances. — Pour calculer les premiers termes du développement de cot// en série de puissances dans le voisinage de // ^ o, on peut employer la méthode suivante analogue à celle qui nous servira pour les fonctions de M. Weierstrass. On a, pour // inférieur à mr. (en valeur absolue),
m— iii-~-
portant cette série dans le développement de cot/f et ordonnant par rapport aux puissances de //, on a une série de la forme
col // = S< —- — S^ — — Si — : — .
où l'on a posé
Xrf ni' ^ m' ^i m^
les sommes 7 - ■> 7 — ;? 7 — -, ■ • ■ sont évidemment nulles,
Jmi m J^ ni' ^à ni-'
car m prend des valeurs deux à deux égales et de signes contraires.
On peut obtenir le développement de sin// en série entière en
NOTIONS iMu;i. iMiNVini:s. i5
Inlégranl le développement de col m, ce qui donne
logsin«=logA + log«--^ ^ __ _____...,
.«, Il- X. Il* s. II*
sin u = A ue~ *" îH ~ T tT* ~ T ii» "••^
A désignant une constante d inleo^ration. Lomme tend vers i
tjuand a tend vers o, on a A^ i. Développant alors l'exponentielle en série, on obtient une série entière donnant sin«. En identifiant le développement ainsi obtenu avec la série connue
sin u ^= u
\ .jL.j 1.2.3.4.3 on obtient les valeurs des sommes s,, s-2, s■^, .... On trouve ainsi
Ces sommes sont bien connues : on les trouvera par exemple dans le Calcul différentiel àc M. Bertrand, p. 4^' : pour vérifier ainsi les valeurs ci-dessus, il faut se rappeler que
Jmd m-' j^ n-'
car, dans S', m varie de — a: à + a:' zt'ro exclu.
Exercice. — Nous ne nous arrêterons pas plus longtemps à la théorie des fonctions sin ;/, cotw. Si l'on voulait établir une théorie complète de ces fonctions, en prenant comme seules définitions le produit (8) et la série (9), on pourrait, en suivant une analyse d'Eisenstein (Journal de Crelle, t. 35, p. 191), montrer que la fonction /(«)=cot«, définie par la série (9), vérifie l'équation différentielle
En portant le développement de cot u en série de puissances dans cette équation et écrivant qu'elle est vérifiée quel que soit «, on aurait un autre moyen de calculer de proche en proche les sommes ^y. Nous indiquons ces résultats à titre d'exercice.
|6 CIIMMTRK I.
j(>. Fonctions trigonométriques en général. — On peut appeler d'une manière générale fonction trigonométrique une fonction f{it) rationnelle en cot;/, car le sinus et le cosinus d'un arc s'expriment rationnellement en fonction de la cotangente de l'arc moitié que l'on peut toujours désigner par ii. Une fonction trigonométrique, ainsi définie, est uniforme; elle n'a d'autres points singuliers à distance finie que des pôles ; elle ne change pas quand on ajoute à u un muUiple quelconque positif ou négatif de t: : c'est ce que l'on exprime en disant que la fonction admet la période primidi-e t, ses autres périodes ±2-, ±3-, ... étant des multiples de la période primitive.
On peut mettre une fonction trigonométrique sous deux formes remarquables. L'une est analogue à la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples; l'élément de cette décomposition est la fonction col(u — a) et ses dérivées; c'est ce que l'on pourra voir dans le Traité d'Analyse de M. Hermite, p. 32 1. L'autre forme est analogue à celle qui donne une fraction rationnelle sous forme du quotient de deux produits de facteurs linéaires; l'élément qui remplace les facteurs linéaires est sin(;f — a). Nous ne nous arrêterons pas à établir ces formules qui nous sont inutiles pour la suite.
Relations algébriques. — Entre deux fonctions trigonométriques
x=f{u), y^fiiti-},
de même période t:, a lieu une relation algébrique définissant encore une courbe unicursale, cary et y, sont des fonctions rationnelles de cot«.
Théorème d'addition algébrique. — Une fonction trigonométrique f{u) admet un théorème d'addition algébrique : /{u + v) est une fonction algébrique def{u) et /(v).
Remarque sur la période des fonctions trigonométriques. — Les fonctions que nous venons de considérer admettent la période -
Il est évident que par un changement linéaire de variable on peut
