III. — Inversion en quantités réelles. DiscnniiNANT positif

1()0. Expression elliptique des racines d'un polynôme du quatrième degré. — D'après ce qui précède, éteint donné un poljnome du fpialrième degré

si 1 on pose

F( 5) — «0-* + 4 (liZ^~- 6(1-2 --4- 4^3- + «^Ti,

RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. W El E RSTR ASS. 257

les invariants des fonctions elliptiques cl l'argument constant v étant convenablement choisis, le polynôme F(:;) prend la forme

F(-) = oolpu — p{u-hv)]K

Cette forme permet de trouver simplement les valeurs de Targument u qui correspondent aux racines de F(^). Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir

pu — p{u-\-ç) = o, ou bien

m et n étant des nombres entiers. On ne doit pas prendre le

signe -;-, puisque v n'est pas un multiple des périodes. En prenant

le signe — , on trouve

et il suffit de considérer les quatre valeurs suivantes de u :

«a = ' "i = i- to, «2 = -+- O) -f- w , »î = '- oj'.

161. Discussion relative à la réalité des racines. Cas où le discriminant est positif. — Nous supposerons dans ce qui suit que les coefficients de F(^) sont réels, de sorte que, lorsqu'on fait l'inversion, go et g^ sont réels. De plus, nous nous limitons pour le moment au cas où le discriminant est positif. La courbe

se compose d'une ovale et d'une branche infinie. Les valeurs de pv et p'c étant réelles, v est le paramètre d'un point réel de la courbe. L'une des périodes w est réelle, l'autre tu' purement imaginaire.

Les arguments Ug, ?^,, iio, 113 sont les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique x = pic^ y = 13'/^ par le point de paramètre v; les valeurs correspondantes de

/ = i i''^^ — P'^ 2 pu — pv

sont les demi-coefficients angulaires des quatre tangentes, et l'on

A. ET L. i-j

voit, en se reportant à l'expression de z en fonction de u, que le nombre des racines réelles de F(;) est égal au nombre des tangentes réelles qu'on peut mener à la cubique par le point de paramètre ^'.

Nous avons vu (n° 63) que les quatre tangentes sont ou toutes réelles, ou toutes imaginaires suivant que le point ç appartient à la branche infinie ou à l'ovale, c'est-à-dire (n" G3) suivant qu'on

a à la fois

pv>o, p"i>>o,

ou que l'une au moins de ces inégalités n'est pas vérifiée.

D'après la valeur de jdp en fonction des coefficients du polynôme, on peut énoncer ce résultat ainsi :

Dans le cas du discriminant positifs le polynôme F(c) a ses quatre racines réelles, si l'on a à la fois

ai — «o«2 > o, i2(af — ao«2)'" — Saj > o.

Si r une de ces inégalités n^ est pas vérifiée, le polynôme a ses quatre racines imaginaires .

Les quatre racines rangées par ordre de grandeur. — Désignons par

-Sq, -^i, Z2.1 -33,

les valeurs de z et par

^0) tx, t2, ts

les valeurs de t qui correspondent aux arguments

ll(,, lli, 11-2, «3-

Dans le cas où les quatre racines sont réelles, les quatre valeurs de z sont rangées dans le même ordre que les valeurs correspondantes de t.

Or on peut voir sur la figure (fig- 20) dans quel ordre sont rangés les coefficients angulaires des quatre tangentes menées du point P de paramètre v, en remarquant que chacune de ces tangentes n'a d'autre point sur la courbe que le point P et son point de contact. En supposant

on voit (fig- 20) que les valeurs de t sont rangées dans l'ordre

RÉDUCTION A L\ FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. ■iS()

suivanl

to>h>f2>ti, et, par suite, on a