Inversion en quantités réelles. — Supposons que Ton ait
fait l'inversion de l'intégrale
dz
par la méthode des n°^ 1o8 et 159. Cherchons quelles valeurs de u l'on doit prendre pour que z- et y F(:;) soient réels tous les deux.
1° Cas où les quatre racines sont imaginaires. — Alors F(:;) est toujours du signe de a^. Si donc «o est négatif, \/F{z) n'est jamais réel en même temps que z. Si «o est positif, il suffît que :; soit réel pour que y/F (s) le soit, c'est-à-dire que
^^ i p'u — p'v 2 pu — pv
soit réel. Or, puisque les quatre racines sont imaginaires, le
26o CHAPITRE VIII.
point P, de paramètre r, appartient à Tovale. Si nous menons par ce point P une sécante de coefficient angulaire af, cette sécante rencontre toujours, quel que soit t, la courbe en un autre point appartenant à l'ovale et en un point appartenant à la branche infinie. En d'autres termes, à une valeur réelle de t correspondent pour u une valeur réelle et une valeur de la forme rt + to', a étant réel.
Ainsi, quand les quatre racines sont imaginaires, il n^y a de solution que si a^ est positif; on doit prendre alors u réel ou u — lo' réel.
1° Cas oii les quatre racines sont réelles. — Le point de paramètre v est alors sur la branche infinie de la cubique, comme dans \ajiff. 20.
L'argument r peut alors être supposé réel et compris entre — m et 0) (n-^OS).
Nous ferons la discussion en supposant
O < p < OJ,
ce qui est d'accord avec la figure, et nous écrirons
les racines se succédant dans le produit suivant l'ordre de grandeur décroissante.
Soit d'abord rto>o- Comme z est supposé réel, pour que ^/F(:;) le soit, il faut que z- vérifie l'une des inégalités suivantes :
OU bien que t vérifie l'une des suivantes
t>to, ts>tyt2, t<ti.
Or le point P se trouve maintenant sur la branche infinie. Si nous menons par P une sécante de coefficient angulaire t et si l'on a
t y- to ou t <C ti,
les deux points variables d'intersection appartiennent à la branche infinie : les valeurs correspondantes de u sont réelles. Si l'on a
t3> t>ti,
RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. W E I E RSTR AS S. iSl
les deux points variables d'intersection appartiennent à l'ovale et, pour chacun d'eux, i/ — lu' est réel. Ainsi, quand a^ est positif, on doit prendre u réel ou bien u — oj' réel. Soit maintenant cIq << o, on doit avoir
^o>/>/3 ou /■.>^>^.
Si l'une ou l'autre de ces inégalités est vérifiée, la sécante menée par P et dont le coefficient angulaire est 2 1 ne rencontre plus la courbe; les abscisses des deux points variables d'intersection
pu, p(u-i-v)
doivent être imaginaires conjuguées. Or, si nous posons u=a-\-bi, (i et h élant réels, la formule d'addition montre que p(a -{- bi) et p[a — bi) sont imaginaires conjugués; il faut donc que l'on ait
p(i' -h a -+• bi) = p(a — bi) OU bien
p -;- « -f- 6; — ~(a — 6/)-i- amco -f- anw',
m et n élant des nombres entiers. On ne peut pas prendre le signe +, car, en égalant les parties réelles, on trouverait
ce qui n'a pas lieu; on doit donc prendre le signe — et l'on a, par
suite,
