V -i- la = 1 m (M -{- 2 nbi

n doit être nul, puisque v cl a sont supposés réels, et l'égalité peut s'écrire

a — i- /nw,

où il suffit de considérer pour m les valeurs o et i .

Nous trouvons donc, comme condition nécessaire, que u doit être de l'une des formes suivantes

K = — -h ib, if — h (ii -^ ib,

b étant réel. Nous allons vérifier que cette condition est suffisante. On voit d'abord que, si u a l'une des formes précédentes, l est

•262 CHAPITRE vm.

réel. En effet, on a, d'après l'inlerprélallon géométrique de t, comme demi-coefficient angulaire de la sécante,

t = - " -^ Ui= — (u-hV).

■2 pa-pui Si

u et «, sont imaginaires conjugués; il en est de même de pu et de pii{, puis de p' u et de p' U{ : donc t est réel. Si

M — - -^ M -^ ib,

— h o) -4- jy

î/i-l-2tu=— - -HO) — 10.

Donc pu et j3?/, d'une part, p' u et p'wj, d'autre part, sont imaginaires conjugués, t est encore réel. Dans les deux cas, la sécante de coefficient angulaire 2^, menée par P, rencontre la cubique en deux points imaginaires. Il faut donc que l'on ait

to>t>t3 ou t-2>f>ti-

Donc enfin, pour une valeur de u de l'une des deux formes considérées, z et s/F(z) sont réels tous les deux.

Ainsi, dans le cas où les quatre racines sont réelles et où a^ est négatif, on doit prendre u -^ — ou bien u -{ di purement imaginaire.

La démonstration a été faite en supposant o << c -< to. Le résultat est encore vrai si ç est compris entre o et — w.

163. Résumé. — Le discriminant étant positif, si l'on veut que z et \fF{z) soient réels tous les deux, la forme de l'argument u est donnée par la règle suivante :

1° Les quatre racines de F{z) sont imaginaires. — Si «0 est