IV. — Inversion en quantités réelles. Discriminant négatif

16i. Racines de F(c). — Soit, comme précédemment, le polynôme du quatrième degré à coefficients réels

F(.3) = ao^*-T- 4«i-^-l- 6«2-''-^ 4«3- -^ «;•

Les quantités ^2 et ^3 étant calculées comme plus haut en fonction des coefficients de ce polynôme, nous supposons maintenant le

discriminant ^2 — "^1 ë\ négatif.

Nous désignerons, comme au n° 132, par w, et (03 un couple de périodes primitives de la fonction p, périodes que l'on peut supposer actuellement imaginaires conjuguées

2Wi=aj2 ^2! 2 W3 ^ COo-i- w'., ,

too désignant une quantité réelle et to^ une quantité purement imaginaire.

On voit immédiatement, comme au n" 160, que, si l'on pose

les invariants de la fonction jd et l'argument constant v étant convenablement choisis, les racines du polynôme F(-ô) correspondent aux arguments

M„ = , «1 = r-Wl, «2 = ^W) + W3, iij = — - -f- 0)3.

Nous supposons que les coefficients de F(^) sont réels; alors les quantités qui ont servi à définir jDi' et p'(> sont réelles, et Ton peut toujours supposer v réel et compris entre — coo et Wo.

■i64 CHAPITRE VIII.

On voit donc que F(:;) a deux racines réelles correspondant

«0= ' llo = -T- w,,

et deux racines imaginaires conjuguées correspondant aux arguments