V -h a -i- bi = ±(a — bi)-{- 2maji

Prenons d'abord le signe — ; l'égalité devient

la -\- V = 2 m wj + 2 « 0J3

Comme a et ç sont réels, on doit avoir n = m, et l'égalité résolue

par rapport à a devient

a = + niwo ;

il suffit de donner à m les valeurs o et i. Pour m = o, « H — est

purement imaginaire. Pour m =^ i , u -\- - est égal à une quantité

purement imaginaire augmentée de tOj. Mais ce cas rentre dans le précédent si l'on remarque que (n° 133)

' Réciproquement il est facile de vérifier que, pour un argument u de la forme

Il = \- lO,

où b désigne un nombre réel, t est réel et compris entre /q et ïo- En effet, puisque 2 t est le coefficient angulaire de la sécante allant du point P dont le paramètre est v au point dont le paramètre est u, on a

Si l'on prend

on a

2 pU — pUi

Ui= — ( — ~ ib) = ib,

et l'on voit que pu et pUi d'une part, p' u et jj'm, d'autre part, sont des quantités imaginaires conjuguées. Donc t est réel. De plus la sécante menée par P et de coefficient angulaire 2 t, rencontrant encore la courbe en deux points dont les abscisses sont des quantités imaginaires, t est nécessairement compris entre ^0 et t^- Donc à une valeur de u de la forme considérée correspondent

des valeurs réelles de z et de y'F(^).

Nous avons choisi le signe — dans l'égalité exprimant que pu elp[u-\-v) sont imaginaires conjuguées. En choisissant le signe + dans la même égalité, on serait conduit à des arguments pour lesquels jdm et p{u + v) seraient bien encore des quantités imaginaires conjuguées, mais ne rendant pas réels ;: et y/F(x;).

Ainsi, quand «0 estnégatij , il faut prendre u -1 — purement

imaginaire.

nÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 267

166. Résumé. — Pour que c cl ^/F(^) soient réels tous les deux :

Quand «o est positif, il faut prendre u réel ;

Quand r/,, est néyalif, il faut prendre «H — purement imaginaire.