V. — MÉTHODE DE M. HeRMITE

167. Méthode générale, — M. Hermite a donné le moyen de ramener à la forme canonique adoptée par M. Weierstrass une in-

/dx -— dans laquelle X désigne un polynôme général du v/x

([uatrième degré. Nous indiquerons, à titre d'exercice, cette méthode dont nous n'aurons pas à faire usage. Soit

X = aox'*-\- \aiX^-^ 6aoa"2-i- 403^ -f- «v un polynôme et H le hessien de ce polynôme,

H =(ao«2 — a\)x'*-h i{aQa3 — aia^)x^

Si l'on pose

on aura

r dx r d\ J v/x" j \/W^^

s et T désignant les invariants du polynôme X S = «0^4 — 4«i«3-*- 3a|,

Pour s'en assurer, il suffit de substituer ^ dans l'intégrale du deuxième membre et d'admettre l'identité suivante, facile à vérifier quand le polynôme X est bicarré,

en désignant par 4J le jacobiendos polynômes X et H "* ' dx dx

•i68 CHAPITRE IX. — RÉDUCTION A LA FORME NORMALE, ETC.

Cas particulier. — Ainsi on vérifiera aisément que l'on a

ma72-4- I

en posant

Cela résulte des identités

(II-™X)(H^!^X H+'"±ix

(gms— 1)2

[cc(x^--hi){x^--\)y',

1 /„ dH rjà\\ 9/n2— I

APPLICATIONS DIVERSES TRAITÉES AVEC LA NOTATION DE xM. WEIERSTRASS.