I. — Courbe élastique plane et sans pression

168. Mise en équations. — Nous avons déjà traité celte question au n" 126 à l'aide des fonctions de Jacobi ; nous allons la reprendre en nous servant des fonctions de M. Weierstrass et nous en préparerons l'application au cas du prisme droit chargé debout. On |)Ourra, de celle façon, comparer les deux systèmes de notations en les appliquant à un même exemple.

L'équation qui donne la forme de la courbe élastique dans la position d'équilibre contraint el qui a été obtenue au n° 126 peut s'écrire avec un changement de nolation

C désignant un coefficient positif et a la mesure d'une longueur que nous laisserons arbitraire. Ces constantes sont liées à la constante c employée au n" 126 par la relation

On trouvera, à la page suivante, un Tableau de formules que Ton passera à une première lecture : ce Tableau donne le résumé des formules établies dans ce paragraphe.

Tableau de formules. (Courbe élastique plane et sans pression.)

— — = — siuO -7- = sinU,

as- as Q

as a-

as / \ a-

il)

i cl oc V "

(10) et (i i) j— = ^ — 3<?) = p ii + p(f< -}- w.>)— ae-i,

a du a-

(pi< — e2)[p(ii-H 102)— e2] = (ei— e2)(e3— ^2),

(p«< — e2)-H[p(«-i-w2)— 62]= ^ — 3^2, -ZeA — 4(^2— ei)(e2— e3) = [p(?<-+-w2) — pî<]2= ^(^j ,

«== G / C2 C^ \ ds

a du = Ci f/5.

— = i\X.u -\- ^(a-f-co2)-i-2«<e2]+const.,

a dt ^ Ça ds,

y—yo ^ i

APPLICATIONS Dr VEnS ES. 27 1

169. Intégration par les fonctions elliptiques. — La relation (i) peut cire considérée comme une équation différentielle du second ordre de la courbe. Nous allons intégrer cette équation. En désignant par s l'arc de la courbe compté à partir d'une origine fixe et par 0 l'angle de Ox avec la tangente supposée menée dans le sens qui correspond aux arcs croissants {/ig- i4) P- 184), on a

-- = cosO, -f- = — sinO.

cfs as

De la première égalité l'on déduit, par différentiation,

d-x . . dd

' f- = — sinO -7- j as- ds

puis, en remplaçant sinO et ^ = - par leurs valeurs,

d- X (] dy

ds- a- ds

Intégrons, ce qui donne

dx ^ y- ^ ds a-

D désignant une nouvelle constante, et portons l'expression ainsi

obtenue de ,- dans la relation ds

dyy- /dxy

:tsj -'-[tts) '

il vient

170. Inversion. — En remarquant que le polynôme du cjuatrième degré dont on veut faire Tinversion est bicarré, on est conduit à appliquer de la façon suivante la méthode donnée au n" 157.

Posons, en adoptant les notations du Chap. VI, § 1,

a •! p u — Co

on sait que l'on a

(5) (p« — e2)[pf«-4- wo)— e.>] = (<?2— C|)(e2 — 63),

(6) {pu — e.i)-\-[p{u -^ iMi)— e.\= ^ — Scj

et, par suite,

(7) (^-3e2y-4(e2-e,)(c2-e3) = [p(«i + t02)-p«]-^=^(gy.

Pour identifier le poljnome du quatrième degré qui forme le premier membre de celte égalité avec le second membre de l'égalité (3), nous mettrons cette égalité (3) sous la forme

et il nous suffira ensuite de poser

^ =4(eo— e,)(<?2— ^3), — = — ^62= ei— e-î-h 63— €2.

On voit que e, — eo et e-i — Co sont les racines d'une équation du second degré dont le discriminant est

Nous nous bornerons dans tout ce qui suit au cas de D2<^ i. On reconnaît aisément que cette inégalité doit être vérifiée si la courbe présente un point d'inflexion, comme cela a lieu pour le prisme droit chargé debout : en effet, pour que p puisse devenir infini, il

faut que y puisse s'annuler sans que -y- devienne imaginaire,

c'est-à-dire, d'après (8), queD- — i soit négatif. Cette hj-pothèse correspond au premier cas du n° 126. Alors, <?o étant réel, d ele^ sont imaginaires conjugués; on peut prendre, comme périodes primitives de la fonction pw, deux quantités imaginaires conjuguées : nous les désignons par to, et (O3 et nous conservons les notations du§I, Chap. VI.

Ayant ainsi identifié les premiers membres des égalités (7) et (8), nous avons

«2 \du I G- \ cls 1

et par suite

(q) ^ a du = Ci ds,

en supposant convcnahloiiienl choisi le sens dans lequel l'arc v est compté.

Dans l'égalité (2) remplaçons ds par ^.dii et -r par sa valeur

— i<'2, il vient

a du a-

et, en tenant compte de la relation (6),

. . i dx . .

On a immédiatement Tintégrale du second membre et Ton trou\e (12) — = fT!I« -I- !!(«< -(- a).>)-i- 2 «e-îl -h const.