GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES

17. Définition. — Nous avons dit qu'une fraction rationnelle est caractérisée par la propriété d'être une fonction uniforme n'ajant d'autres singularités que des pôles.

Nous avons remarqué également qu'une fonction trigonomé- Irique (fonction rationnelle de cot^^ou de sinaw etcos2M) est une fonction n'ajant d'autres singularités à distance finie que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec une seule période primitive ti. Mais ces propriétés ne caractérisent pas les fonctions trigonométriques : elles appartiennent par exemple à e*'"-" qui n'est pas une de ces fonctions. Pour achever de caractériser une fonction trigonométrique, il faudrait ajouter cette condition qu'elle possède un théorème d'addition algébrique.

Nous définirons d'une façon analogue les fonctions elliptiques par les propriétés suivantes, qui les caractérisent complètement :

On appelle fonction elliptique une fonction uniforme n'ayant, à distance finie, d' autres singularités que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec àen^ périodes primitives aw et 210'.

La fonction admet donc les deux périodes 20) et 2 w'; on dit qu'elle est doublement périodique, tandis que les fonctions trigonométriques sont 5//;î/?/e/n(?/if périodiques. Elle vérifie les relations

d'où l'on conclu t

(12) /(« H- 2/?2lO -t- 2nw')=:y"(K),

m et n désignant des entiers positifs, négatifs ou nuls.

G KNK RM.ITKS S t H LKS FONCTIONS K I, MPT I Q U K S. Mj

Nous admellrons que le rapport — est imaginaire; s'il était

réel, la fonction se réduirait à une fonction simplement périodique on à une constante. C'est là un fait dont on trouvera la démonstration dans la Note I et que l'on peut admettre pour ne j)as interrompre l'exposition.

Les fonctions elliptiques sont ainsi définies i/i abslraclo. Nous allons définir, par des séries, les éléments analytiques à l'aide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques. Nous indiquerons en même temps leurs principales propriétés, parmi lesquelles nous signalerons dès à présent l'existence d'un théorème d'addition algébrique et l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes.

Une première propriété, résultant immédiatement de la définition même, est celle-ci : La dérivée d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique. En efl'et, les relations (i i) ajanl lieu quel que soit u donnent par différentiation

La dérivée/'(«) admet donc les périodes 2co et ato'; elle est uniforme comme y*(«) et ses seuls points singuliers à distance finie sont des pôles, car si f(u) est régulière en un point il en est de même de f'{u), et si f{u) a un pôle en un point il en est de même de /'(«).

18. Parallélogrammes des périodes. — La double périodicité peut se représenter géométriquement comme il suit. Soit u^ une quantité imaginaire constante, choisie au hasard; considérons dans le plan représentatif les points représentant les quantités

«0, "o àz 2 M, Uq ± 2 CO', Uq ± .1 (0 ± 2 lo'

et, en général,

«0 -+- 2 /n 10 -T- 2 II tu',

oîi m et n sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls; ces points forment les sommets d'un réseau de parallélogrammes tous égaux au parallélogramme P, qui a pour sommets les

ao cil A PI THE II.

poinls

et recouvrant tout le plan.

Si u est un point quelconque du plan, il se trouve dans un de ces parallélogrammes, le parallélogramme P', par exemple; le point u -T- 2io est dans un parallélogramme voisin dans lequel il

Fig. I.

occupe la même position que u dans P'; en général, les points « + 2 m (04-2/10)' sont tous dans des parallélogrammes différents; ils occupent dans chacun d'eux la même place que u dans P'; nous avons figuré quelques-uns de ces points. On dit, pour abréger, que ces points sont des points homologues ou congruents du réseau des parallélogrammes. L'un quelconque de ces parallélogrammes s'appelle parallélogramme des périodes ou parallélogramme élémentaire.

Les relations (i i) expriment que la fonction fK^u) reprend la même valeur en tous les points homologues. Il suffit donc de connaître la fonction f{u) dans un des parallélogrammes, P par exemple, pour la connaître dans tout le plan.

19. Théorème fondamental. Une fonction elliptique devient nécessairement infinie dans un parallélogramme élémentaire, sinon elle se réduit à une constante. — En effet, si une fonction elliptique était finie, dans un parallélogramme élémentaire, elle serait finie, en tous les points à distance finie ou infinie, à cause de la double périodicité; ce serait donc une constante (n° 6).

r. KNKIl ALITKS SIR I. K S FONCTIONS El. 1. 1 PT IQl' T- S. >. I

120. Une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire. — Le lliéorèmc précédent nionlrc qu'une fonction elliptique a au moins un pôle dans un parallélogramme; nous voulons montrer qu'elle en a un nombre limké. En elTet, supposons que, dans P, une fonction /(;< ) ait une infinité de pôles; divisons le parallélogramme en quatre en joignant les

Fig. 2.

milieux des côtés; dans un de ces quatre parallélogrammes au moins il y a une infinité de pôles. Divisons-le encore en quatre en joignant les milieux des côtés; dans un des nouveaux parallélogrammes au moins, il y a une infinité de pôles. En continuant ainsi, on obtient une suite de parallélogrammes tendant vers un point a du plan et contenant tous une infinité de pôles. En ce point a la fonction n'est évidemment pas régulière : le point a est donc un point sing^ilier; mais il ne peut pas être un pôle, car un pôle est nécessairement isolé et nous venons de voir que, dans une aire aussi petite qu'on le veut autour de a, il existe une infinité de pôles. Ce point est donc un point singulier essentiel de la fonction, ce qui est inipossible, puisqu'une fonction elliptique, par définition, n'a cV autres points singuliers que des pôles dans un parallélogramme.

Le théorème que nous venons de démontrer est d'ailleurs une conséquence immédiate de la proposition générale du n° 7.

Ainsi, une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire, tout comme une fraction rationnelle en a un nombre limité dans tout le plan.

Nous allons donner une première expression analytique des fonctions elliptiques mettant en évidence ces pôles et leurs parties principales; cette expression jouera le même rôle que la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

Il CIIAPITKE II.

Voici comment on forme la fonction qui joue dans la ihéoric des fondions elliptiques le même rôle que la fraction simple

dans la théorie des fractions rationnelles.

21. Fonctions -i, ^. p, Z, H. — Nous avons rappelé précédemment le développement en produit de %\x\.u

mettant en évidence les zéros : o, zb-r, ± 2- de celte fonction.

Par analogie nous allons former avec M. Weierstrass une fonction régulière, comme le sinus, en tous les points à dislance finie et admettant comme zéros le point ?< = o et tous les points

/m = o. d= I, ± 2, . . .\ 2 /?i w 4- 2 n oj ( ' , ,

homologues de l'origine dans le réseau des parallélogrammes. Posons, pour abréger,

w = 2 m Ki -\- in fo',

et considérons la fonction définie par la formule

I /n = o, d= I , ± 2, . . . , zt c -j-^Y u\ ^+\^ i « = 0, ±1, ±2, ...,=i=:

(,3) ^a=--uYY[^--)e^^ ^- I ,^ = 2mco-2nco'

( u' =^ o exclus

dans laquelle il faut, pour former le produit infini, attribuer à la quantité w toutes les valeurs contenues dans l'expression innù + inui\ à l'exception de la seule valeur o qui correspond à m= n =z o.

Qu^nd cette exception doit être observée dans un produit infini ou dans une somme infinie, nous le rappelons en faisant suivre d'un accent la caractéristique II ou S du produit ou de la somme. Actuellement, nous admettons la convergence du produit (i3); on en trouvera i^ne démonstration dans la Note II.

La fonction :i u ainsi définie s'annule seulement aux points M = o et u^ iv := 2UIL0 + 2 uto'; cllc uc dcvicut jamais infinie

f. KNÉRALITKS Sun LKS FONCTIONS E LLI PT I QU KS. 23

|)our des valeurs finies de u. On voil que celle fonction a un /.éro simple et un seul dans chaque parallélogramme élémentaire. Tous ces zéros sont des points homologues du réseau de parallélogrammes.

Cette fonction d est impaire comme un sinus

en effet, comme m et n prennent toutes les valeurs de — x à +00, on peut, dans l'expression du produit, changer m et n de signes sans changer ce produit; on a donc aussi

c'if = u\ j i\ -4- — je""i^"*"2Ti^.

Mais alors, en changeant u en — u et comparant au produit (i3), on voit que 3'( — u') ■=■ — du .

Enfin, il résulte du produit infini que le rapport '^— tend vers i

quand u tend vers zéro.

De même que l'on déduit la fonction colu de sin?^ en prenant la dérivée logarithmique, nous considérerons la fonction obtenue en prenant la dérivée logarithmique de du

, , „ d\ç)^:iu '^' u 1 V^T i i « 1

uiL 3" a a ^^ yu — (V w (v-J

Nous désignerons pour abréger celte nouvelle fonction par ^(«) ou ^u. La série qui définit X.u est analogue à celle qui définit cot;/.. Elle montre que la fonction ^i^ a pour pôles simples tous les points u = 0, w = imiii -\- in^' , avec le résidu + i. En effet, la différence

K — ■}. ni L'i

où m et n sont des entiers déterminés, est régulière au point u= 2/72CO + 2/ioj'. La fonction ^ a donc un pôle simple de résidu H- I dans chaque parallélogramme élémentaire. Il en est de même de la fonction î^(« — a)^ où a est une constante; cette fonction a comme seuls points singuliers les points u =^a et u ^= a -\- iniui -^ a/ito', qui sont des pôles du premier ordre de

résidu -|- i; il y a un de ces pôles et un seul dans chaque parallélogramme. Ainsi u^ «esl un pôle elle différence v(// — a)

est régulière au point ii = a.

La fonction ^u est impaire comme la cotangente; on peut le vérifier directement ou le conclure de ce que (jU étant impaire, sa

dérivée 5''« est paire et le quotient ^ impair.

Pour étudier les propriétés de cette fonction prenons-en la dérivée et appelons pu cette dérivée changée de signe

^ ' •' du- a- ^\(u~\vf w^ y

cette fonction étant la dérivée d'une fonction impaire est paire : elle a pour pôles doubles les points it =: o, u = inuM -\- into' \ la