Nature de l'argument. — Voyons comment doit varier a
pour que j' 6t 1 / 1 — (C=^ ~^ ^ ) ^0'*^'^^ tous les deux réels. La relation déjà établie
a du = Ci ds
montre que u est nécessairement imaginaire. Posons
u = h -+- it,
h et t désignant des quantités réelles. On a trouvé, en faisant l'inversion,
,(c£ + D)'=-g(|:^'=-cn,u.-p(.^.o,)].,
et il en résulte
^i-(c-^-^Dj'^iC[p{h^U)-p(i^,^h
il)].
D'après cela, p^M.,-}- h -i- it) doit être la quantité imaginaire conjuguée de p[h -h ii)-, on doit donc avoir
p ( ojo -T- h — i( )= p{h — it ) et par suite
C02 -i- A 4- it — lii ( A — it)^ i. m Wj -i- 2 n loj, \. KT L. 18
•;i74 CHAPITRE IX.
m cl II désignant des nombres entiers. Si l'on prenait le signe +, h disparaîtrait et / ne pourrait varier d'une manière continue. En prenant le signe — , l'égalité devient
le premier membre étant réel, il faut que n =^ m et l'on trouve alors
/i = — 1- m Ml.
Il suffit de donner à /n les valeurs o et i . Pour m = o, ?/ H
■X T-, tOo . ,
est purement imaginaire, rour /?? = i , « -{ = n est plus purement
imaginaire; mais ce cas se ramène au précédent, à cause de la formule
p(ii-t- W2) = p(i'. H- W'2).
On aura donc, en résumé, à prendre pour // des valeurs de la forme
it,
L étant une variable réelle.
Remarquons de suite que l'égalité
a du = Ci ds devient
dt = Cds.
172. Expressions de .r et de j^. — Remplaçons u par sa valeuren fonction de t dans les relations (12) et (4); il vient
•iCot,
en supposant l'axe des y choisi de façon que j' = o pour ^ = o, puis
(ifi^
Mo
p( — — -+-ffj-pOJ2
Cette valeur de y peut s'écrire successivement en se servant des
relations (65) et (6|) du n" ii
— .To
Ui-,
{in
A, j'o désignant des constantes et y^ étant la valeur que prend y pour / r= o.
173. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier /. — En tenant compte de la périodicité des fonctions de l qui figurent dans les expressions de x et de y^ cherchons dans quel intervalle il suffit de faire varier la variable réelle /.
Quand on change < en ^ H } -, y ne change pas, a: augmente
de la quantité constante \h définie par l'égalité
(ï8) - = tCoa-t- <'2"-»'2)= '(^-3— ■';i-H ^2^2),
où l'on a posé
'Il = ^(wi), ■r^■^= ^(103).
Il suffit de faire varier t de t^-A /o+ ^^^- Si Ton change t en — /, y ne change pas, x change de signe. Donc si l'on faisait
variera de ^à h --, la branche de courbe ainsi obtenue serait
symétrique par rapport à Oj^; il suffit de faire varier f de o à -^«
On peut encore restreindre cet intervalle; soient ?, et t-^ deux
Il 1 • ''^'^
valeurs de l avant pour demi-somme — =.
■ii ' ' ' li ' '
soient ^1 , j^( ^Xx-i^y^ les coordonnées des points correspondants, on a
Vi -(- y-) = {). -(xi + x.->)= h.
// t'ianl la constante définie par l'égalité (18). Donc, si l'on faisait varier t de o à ~ ■> la branche de courbe ainsi obtenue aurait pour centre le point j' = o , x = /i : il suffit de faire varier / de o à — . • Considérons les points de la courbe qui correspondent aux. valeurs extrêmes de cet intervalle (o, — . j. Pour i = — 4on aj' = o d'après la formule (16) et
d'après la formule (lo). Ce poinljv' = o, x = h est le centre dont nous venons de constater l'existence. Ce point est en même temps un point d'inflexion, comme cela résulte de la formule
Pour i = o, on a :r = o etj)'=j^o- Clierchons la tangente au
point correspondant de la courbe. Si l'on fait 11=^ -f- it dans
les égalités ( j) et (i i), elles deviennent
, , \ dv .r /wo . \ /w> . \"1
r d.r [ oj., . \ /coi . \
Ody I d.r , , , / w., \
n voit que, pour t^o^ -—■ est nui et -j- est égal a lip— — P'^i)^
quantité plus grande que zéro. Donc la tangente est parallèle à O.r, c'est-à-dire à la direction de la force élastique ; de plus, comme Oy est un axe de symétrie, le point correspondant à ^= o est un sommet.
17i. Construction de la courbe. — Supposons maintenant que l croît de o à — ^ • A cause de l'é"alité
G ds = a dt,
v va conslammcnl en croissant. L't'îralilé
r—vo
, Mo
p(in—p
inonlrc ([110 )■ va sans cesse en décroissant; nous avons déjà remarqué (|ue y pari de jko pour arriver à zéro; il en résulte que yo est positif et que la valeur absolue dej>' décroît constamment. Pour voir comment varie x reportons-nous à l'égalité (20) qui
donne la valeur de-^-- Puisque la valeur absolue de i' va sans
cesse en décroissant, il en est de même de -^- Pour / = o, la va-
af
leur de -j- est positive; pour t= -^, y étant nul, -r- est éiral at ^ ' Il ^ ' dt "
à — 3^:». Donc si l'on a c-,<Cio^ ~/7 ^^^ constamment positive, si
dx . ^ Ion a ^2^ O: —fj décroît constamment depuis une valeur positive
jusqu'à une valeur négative et change une fois de signe dans l'in-
lervalle (o, — ". j- En faisant varier t au dehors de cet intervalle,
on a des arcs de courbes se déduisant du précédent par symétrie par rapport à Oy et par rapport à des centres situés sur Ox avant pour abscisses dt /i, ±2/1, . . . , rt /)h.
Nous pouvons maintenant reconnaître la forme de la courbe en supposant successivement que Co est négatif, nul ou positif.
Fig. 21. Fig. 22. Fig. 23.
Ces trois cas conduisent aux formes des /(g. 21, 22 et 28. Dans
\ii Jig. i4 (l), p. 1S4, on a représeulc seulcinenl un arc tel que l'arc a\ ba^ de \ajig. 21. Dans ces nouvelles figures nous supposons l'axe Or liorizontal.
