T. 2BC

carT, qui csl conslaiil loul le long de la fibre ninjeune du prisme, est ici égale à l\

176. Nombre de solutions. — Enlre les deux égalités (i) et (2) éliininous n et rcinphirous C par sa valeur

- = .iy/ie,— ei)(e.2— es),

nous trouvons la condition

(3) P/^ = (2/i-i-i)'B(' Y)V(e2-ei)(e.2-e3)

qui ne dépend plus que des éléments elliptiques et des données numériques qui définissent l'expérience. La discussion de cette égalité nous conduira au nombre des solutions du problème. Cette égalité peut s'écrire

Or, nous avons vu (n" 138) que l'on a

/• ', étant une quantité réelle comprise entre o et i , et p ajant pour valeur

p =\/{ei — ei)[ei—e.i),

comme on le voit en multipliant membre à membre les expressions de f-, — c, et e^ — e-^ du n° 138. Le deuxième membre de l'équalion (4 ) est donc le carré de l'expression

IJ

df

0 \/\ — /«."7 sin-ti

qui est supérieure à 1, car elle croît constamment de i à cx) (juand /, ,- croît de o à i . D'après cela, l'équation de condition (4) donne pour /,',- une seule valeur comprise entre o et i si l'on a

ïiiAn -r- I)'--- ^ '

•i8o CHAPITRE IX.

ou bien

Si donc — {/ T^ est compris enlrc (av + i) cl (2v + 3), en faisant successivement

on aura v équations en A'," admettant chacune une racine comprise entre o et i et, par suite, il y aura v positions d'écpiilibre. Si l'on a

il n'existe plus de valeur de A'," comprise entre o et i ; il n'y a plus de forme d'équilibre autre que la ligne droite. Dans ce cas, le prisme droit chargé debout est en équilibre stable.

I II. — COIRBE ÉLASTIQUE PLANE SOIS PRESSrOX NORMALE UNIFORME.

177. Énoncé et mise en équation. — Il s'agit de trouver la figure d'équilibre d'une verge élastique qui dans son état naturel était de forme rectiligneou circulaire et qui est soumise à l'action de forces définies de la façon suivante : A chacune des extrémités de l'élastique agissent une force et un couple; en outre, sur chaque élément de l'arc agit une pression normale à l'élément, contenue dans le plan de la fibre moyenne et proportionnelle à la longueur de l'élémenl. Pour se représenter ces données, on peut considérer une chaudière cylindrique et la verge découpée dans la surface de cette chaudière par deux plans perpendiculaires aux génératrices du cylindre et très voisins l'un de l'autre. Ce problème a été résolu par M. Maurice Lévy.

Soient Fq et Mo la force et le moment du couple qui agissent sur la verge à l'une de ses extrémités Aq. Si l'on coupait l'élastique en l'un de ses points A il faudrait, pour maintenir l'équilibre, introduire une force et un couple. Soient F la force et M le moment du couple. Pour définir avec précision la pression sur un élément d'arc, comptons sur la courbe Tare s à j)artir d'une origine fixe dans un sens déterminé et rapportons la courbe à deux axes reclan-

APPLICATIONS niVKRSES. ./Si

giilaircs Ox et O)'. Soient s, Tare (|ni corresjDond à un point A, tie la courbe, ds, un f^lémcnt d'arc compté à partir de ce point, a, l'angle que fait Ox avec la tangente en A,, cette tangente étant menée dans le sens où l'arc va en croissant.

La pression qui s'exerce sur l'élément c/Si a pour intensité/? ds,, p désignant une constante : nous la regarderons comme positive

lorsqu'elle s'exerce dans le sens a, + - de sorte que ses projections sur les deux axes sont

p dSi cos I ïi -i- - |> /» «t/ai sin ( aj — - j,

ou bien

— p dsi s'm%i, /> r/ij cosai, OU bien

— P^lyx-: P Clxi.

Exprimons que les forces agissant sur l'élément Ao-V se font équilibre.

rSous écrirons d'abord que la somme des projections des forces sur chacun des deux axes est nulle. Nous avons, en désignant par X, Y les projections de F, par Xq, Yq celles de Fq,

Y -;- Vo — //? dx, = o.

Ces égalités peuvent s'écrire

en désignant par x, y les coordonnées du point A et par a cl h des constantes. Elles expriment que la perpendiculaire menée en A à la direction de la force va passer par un jKjint O' de coordonnées a et b, qui reste fixe «juand on fait varier la position du j)oint A. Ce point se nomme ceiilre des forces élastiques.

Nous prendrons ce point O' comme nouNclle origine en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes. Alors les projections de F deviennent

^=py, ^ = ~p^,

■>.8î CU.VlMTRi; I\.

ol son luomcnl par rapport au point O' est

.r Y — j' X = - /) ( .7-2 -^ r i ) z= pr"- ;

on a ainsi l'intensité et le sens de la force F.

Nous allons écrire maintenant que la somme des momenls par rapport au j)oint O' est nulle. D'après la théorie de l'élasticité, le moment M du couple qu'il faut joindre à la force F pour avoir l'action exercée en A sur l'arc AqA est donné par la formule

iM

ni désignant un facteur constant et positif, o le rayon de courbure en A dans la position d'équilibre considérée, c'est-à-dire —.-^ po le ravon de courbure au point A dans la position naturelle.

D'autre part, le moment de la pression s'exerçant sur l'élément c^5,, ayant pour coordonnées ^,, y,, est

pi^i dxi 4- J'i dyi ) = p —^ ;

les moments de la force et du couple correspondant au point Ao sont des constantes. On a donc, en écrivant que la somme des moments des forces appliquées à l'arc AqA est nulle,

m[ — ) — pr- 4- — / dr] = const.,

OU, en modifiant la valeur de la constante,

Po

pr

=■ const.

L'égalité résolue par rapport à - est de la forme

A el B désignant des constantes. En particulier A= — -^ de sorte

(|uc A est positif; B peut avoir un signe quelconque ; les coefficients numériques ont été mis pour simplifier l'écriture dans les calculs suivants.

Cette égalité peut être considérée comme une équation diflérentiellc définissant la courbe élastique

APPLICATIONS I) I V K n S F, S.

178. Taijlkal I)i; formules, i Courbe clastiqite sous pression normale

constante.)

(fi) (7)

as !

'('Il/

/■ dr — 2 A /--H 2 B,

A r' -r- •< 15 r'- -t- C , ^/.fî =- dr"- -■- r"- dO ^ ,

I /dr^Y

M A/''^2B/-2+C ds r-

/ z'-— 3j)P =[p« — pt'] + [p(« -4-t') — pt'], (i2) Z - (52— 3pt-)^— 2(jy'r — 2jpV) = [p« — ,p(«-- r)]^ (i3) 2(p"r — 2^j)V) = /'-^

ji -^ V =

iGA " • 2A' '"'■ A

on supposera o < t^ < w, pr > ^i, pV < o, p"r ;^ (

i ds ■ip'v'

(17) A/-' -f- aB/--^- C = [p i< — pv]~\p{u ■^- V ) — ptî],

. rfO p'(^ pV

(■il)

du pu — pv p{u^v) — pv

■}.i ~i- — U u -\- V ) — Liu — V) — iiv du '

-*- ^(«-4- 2 1^) — liu) -—■}.'Cv,

It,

( 22 ) • /-' = l^p ^ ^ -i- àj - p ij [r(^- ^() - P '' J >

c n v iM T n li: i x .

179. Intégration par les fonctions elliptiques. — Nous allons daboril élahlir une lovnnilc donnanl le rayon de courbure d'une courbe définie en coordonnées polaires

p r dr

On a, en elTel, en désignant ]>ar a l'angle de la tangente avec

Ox :

r- dO = .r dy — )' dx,

d() r- -j- = X sin a — y cosa,

ds

d / dQ\ , . ^d^L

ou enfin

dx dv\ \ dr I

ds ds / p ds p

cm

■ ' ds) ~d7-

D'après celle formule, l'équation différenlielle de la courbe peut s'écrire

dri

En intégrant et en désignant par C une nouvelle constante

.dH

ds

En élevant au carré les deux membres de cette égalité (■j) et en nous servant de la formule

ds'-= dr^--{- r'-dO'-, nous pourrons éliminer clH. Nous trouverons ainsi l'équation

(8) i/^y'=,.2(ArV+2B/-2+C)2,

(jui définit /- comme fonction elliptique de l'arc s. L'angle Q est ensuite déterminé par la formule

M A/-^+ 2B/-^+G ds ~ i-^

.VPIM.ICATIONS DIVERSES. 9.85

On clc(iniL ainsi les coordonnées polaires/' el 0 d'un poinl de la courbe en fonclion de la variable s. Le calcul efifeclif est dû à Halphen.

180. Inversion. — On a vu, en ctudianl l'inversion (n" lo7), (jue si l'on pose

■2 pu — pV

on a

\ p'i' -■î^p'v = :y[pu — pi>][p(u^i')~pi>], I z-^—3pv=(pu — pv)^[p{u-r-v) -pv],

de sorte que

(1-2) Z ={z^- - 3 pvy-— -yi p" i' ~ -2zp' i>} = [pu -p(u-^v)]\

et par suite :; et y/Z s'expriment en fonction uniforme de u. Si l'on pose

(13) ■î(p\' — ■>.zp'v)= r'^,

le polynôme Z se ramène à la forme

et pour identifier ce polynôme en /- avec celui qui donne

— - ( -y- j (é{[. 8) il suffit de poser

Le calcul n'offre aucune difficulté et l'on trouve

ou, en résolvant par rapport à j3t', jdV, j:)"r,

Si, dans les relations (jui exislenl entre j^r, pv etjj'r. on remplace ces quantités par leurs valeurs tirées de (i4) on aura g.^ et ^':j. Nous supposerons les données choisies de façon que le discriminant soit positif; les valeurs de j^v et de p'i' sont réelles puisque A est [)osilif et l'on j)eut arbitrairement chui^il• le signe de j)'r. iNuus

•iStî en A PI tri: i\.

examinerons sculemcnl le cas où r satisfait à la condition

de sorte (jue 1 on a

o < r < to,

pv>ei, p't'<o, p"r>o.

Les éléments elliptiques étant ainsi fixés, on a, en tenant compte des égalités (12), (i3) et (10),

( 1 5 ) /-ï — ( A /-v — •> nr'--hCy- = -[pu-p(ii -V )J 2 .

11 en résulte

Mais le premier membre est égal à - ( —j- ) d'après l'équation différentielle de la courbe (éq. 8) : le second membre, d'après la relation ( i3), est éiral à — ( -r- ) —r- — r;— ; on a donc ^ ^ ° \ au / ibp -ç

dit =

ids

Cette égalité montre comment est liée à l'arc s la variable u que

nous allons garder comme variable indépendante.

Nous avons déjà/*- en fonction de w au moyen des relations (i3)

et (11); pour avoir 0 il suffit de remplacer/-- par sa valeur en

fonction de u dans le second membre de l'équation (9), c'est-à-dire

dans

On a d'abord, en tenant compte des relations (i3) et (i4)i A/-*— 2Br2-^ C =(^2 3pt^); j)uis, en se servant de l'une des relations (1 1), {17) A;'i-->.B/-2-^G = i^pu~pv)^[p{u-\-v)-pv].

11 est facile mainlenant d'obtenir en fonction de // Texpression

, dO

de -^ ; on trouve siicccssivcnicnl au

o-i cif) ( pu — pv)-^-\p(u-^ v) — pv] p'v du ~ {pu—pv)\p{u-hv)-pv]

( 1 8 ) il = ■' ■ •'

du pu — pi' p(u-hv) — pv

OU, d'après la formule du n" ii

.r/0 (19) — ^'^-^- = C(«-i-<')— l(.ii — i')— ?-b(' + r(« + 2r)- H^u — i^c.

Nous avons ainsi /- cl 0 en fonction de u. Réunissons ici les deux équations correspondantes, en appelant E une constante :

( r'- = ^(p u - pv )[p(u -^ v)— pv], / ^ ) , I ds

^"^'^^ { ,-,ftni r^ . f :fiicf(u — i') du = — ^ •

181. Nature des arguments. — L'expression (16) de du ou fonction de <:/5 montre que u est certainement imaginaire. D'autre part, pour que /•- soit réel, il faut (jue les deux facteurs dont le produit donne /•'- soient ou tous deux réels ou tous deux imaginaires conjugués; voyons s'ils peuvent être réels. Si une valeur imaginaire de u rend pu réel, elle est, à des périodes près, de la forme ix ou co + ix, x étant une valeur réelle; mais les valeurs de cette forme ne rendent pas réel J3(m + v) ; elles sont donc à rejeter. Il reste à exprimer que pu el p{u + v) sont imaginaires conjugués. Soit u = a -\- bi. D'après la formule d'addition donnée (n" io) pour la fonction pu, les deux valeurs p{a -\- bi) et pia — bi) sont imaginaires conjuguées : il faut donc que l'on ait

u -^ V — dr ( « — bi) -r- i m m -+- a n to',

m cl n désignant des nombres entiers, cl en égalant les parties réelles dans les deux membres

a ^ V = ± a -~ 1 niiù .

On ne peut pas prendre le signe -}- puis<jue r n'est pas un nuilliple de .i.(.<y\ il Ïm\{ donc que l'on ait

■la -.- i- — innà,

ce qui donne

(• (• a = ou rt= t-to.

Nous examinerons seulement le premier cas et nous poserons

(■21) u = if,

t étant une variable réelle; de sorte que l'on aura

du = — i dt,

et comme on a trouvé (éq. i6)

, i ds

du = — , j

on a aussi

dt ^ T" ds,

p V étant négatif, dt a le même signe que ds.

182, Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t. — La première des formules (20) montre que /■- ne change pas quand

on change 11 en u -h 2w ou bien ^ en / H • U autre part -j- est

une fonction rationnelle de /- ; il en est de même pour — - Il en lésulle que, pour une valeur donnée de dt^ la valeur de <:/9 ne change pas quand on change ^ en / H r- et, par suite, que 1 accroissement de B est le même quand on fait varier / de o à t^ ou

Lien de ^^-r- à ^ h^i • Si donc on a construit la branche de courjje

obtenue en faisant varier i de o à ^^r- et si on la fait tourner d'un

angle égal à l'angle des rajons extrêmes, on aura la branche de la

courbe décrite quand t varie de — a — .— • 1 i i

D'après cela, il suffît de faire varier ^ de o à ^^; mais on peut restreindre cet intervalle En faisant « = 1- ;7 dans l'ex-

pression Je /•- on trouve

et l'on vérifie aiscmcnl que /- prend les mômes valeurs pour

/■ = -^ + /i et pour /.. = -- — h.

D'autre part, pour un même accroissement dh les accroissements dti et t/t^ sont de signes contraires; les accroissements correspondants d^i, et c/Oj sont égaux et de signes contraires

puisque ~j- ne dépend de t que par l'intermédiaire de /-. Donc

les accroissements que prend 0, quand on fait varier t de -^ à — -]- h

puis de — à -7- — /j, sont égaux et de signes contraires. La courbe

est symétrique par rapport au rayon qui correspond a / = — , et il

suffit de faire varier / de o à ^-•

183. Variation de /•-. — En tenant compte de la relation (i3) entre r^ et ;, on a

dr'^ , , dz , , d (^ P'" — VÎ V

du du du\>. pu — pif

ou bien

'du =-îP'^[j^(""^'')~J^*'']'

, (' et, comme on a pose u = — ; it,

Cherchons les valeurs de t qui annulent le second membre. Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir, à des périodes près.

Le signe — est à rejeter, puisque v n'est pas un multiple des périodes, et par suite

•2 et = 1 m tu -f- '2 /i OJ

ago CH.VPITRK IX.

m cl n désignaiîl clos nombres cnlicrs. Comme il esl piircmenl igi

imauinaire

// = /?co';

les seules valeurs de / apparlenanl à l'inlcrvalle (o, -V j qui annulent — j- sont donc les valeurs extrêmes.

Clt

Pour reconnaître celle de ces valeurs qui correspond à un maximum, prenons la dérivée seconde

dt

Pour / = o, le second membre se réduit à — Sp'cjj'-; il est négatif

puisque r et - étant compris entre o et w, jd <• et j3 - sont tous les deux négatifs; c'est donc t = o qui correspond au maximum. /■- décroît constamment quand Marie de o à — • Nous désignerons j)ar /'l et r] les valeurs de /- qui correspondent à / = o et à /= -V •