Variation de l'angle polaire. — Dans la formule
as
remplaçons ds par — ip'vdl, elle devient
■ip V
dt
le trinôme A/-'H- 2Br-+ Cases racines réelles, puisque, d'après l'une des relations (14)5 ^^ — B' est du signe de pr et que j3c est positif. Voyons d'abord combien ce trinôme a de racines comprises entre /'^ et /'^.
L'égalité (17), où Ton remplace a par 1- ;V, devient
\ /-^ -h 2 B r2 -H G = p / - H- i'i j -i- p ( ; it\
•>JM'.
L,n V laisanl succcssivcmonl / = o nuis / = . on Irouvc
A r'i -^ ■>. B ri + C ^- >. i^p -—p v j ,
La (lifTércncc p ^ pr est positive, puisque pu décroît, quand
// croit de o à (o ; la difFcrence pi- — hw'j — jjr est négative,
puisque p( — \~ to' j est compris entre fo et ^u et que pv est plus
grand que t'\. Donc r'I et r'\ comprennent une seule racine du trinôme.
Quand / varie de o à— > /•- décroît constamment de /;; à /■',
-T- change une seule fois de signe. Comme A est positif et p'c négatif, on voit que Ton a
1 ' • i^^\ /df)\ , , , dO . ,
en désignant par ( -7- I et ( -^ ) les valeurs de -j- qui correspondent
I80. Angle des rayons allant à deux sommets consécutifs. — Il nous sei'a utile, pour étudier la forme de la courbe, de connaître l'angle des rayons correspondant aux valeurs extrêmes de l'intervalle (o, -7- ) dans lequel nous faisons varier t] cet angle est la moitié de raccroissement que prend 0 quand / varie de o à— r-- Nous allons faire le calcul en supposant que l varie de /^ à ^0+ - •^*
Dans la formule (19) qui donne -y-» faisons u ^^ //
cl du ^^ ^ idl\ nous obtenons, en tenant compte de ce que "^u est une fonction impaire
dt
CIIAPITnE IX.
raisons maintenant varier t de /q a ^oH — et désignons par 20
l'accroissement de 0, nous aurons
Le second membre se simplifie beaucoup, si l'on se sert d'une formule à laquelle nous serons conduits en cherchant à évaluer
une intégrale de la forme
dt.
■X étant une quantité réelle telle que 1 on ait
o < a < aw.
i î fonction sous le siçrne somme est la dérivée de
l'intégrale définie est
Log:r(a -T-iV);
- Lo'j: :
l 3'(rt -1- <^u j
D'après la relation (a'î) du n" 21 on a ^{a-h ito-h 210')
'(a + itu)
— — ^2r,{rt-t-/7(,+(i)'i
ei, par suite,
3'('a -r- j7o-i- 2C0') ^ [^a -r- llQ )
n étant un nombre entier qui n'est pas déterminé par le calcul précédent. On en conclut
I X,{a + it)dt = ~a+{in^i)- ~ ^(IIq-^ w').
Dans celte égaillé changeons / en — i en remarquanl cjiie ^
el -.- sonl réels, il vienl
(•26) / Ç(a-//)rf^= ^«+(2n -4-1)7:- ^(iVo+o/),
puis ajoulons membre à membre les égalilés (ao) el (2G), nous oblenons la formule (ju'ii s'agissail d'élablir
(27) - / ' [tia-h i()+i:{a — i()]dt ='^!-a-i-{in -+-i)tz.
Mais il resle à déterminer le nombre entier n. Celle délermlnation esl facile quand a ^ lo. En effet la fonction sous le signe
somme est égale à
JH«J — jn«0
pour <7 = C)j, elle se réduit à 2^o>, c'est-à-dire à ir\\ l'égalité précédente devient
-. ( r, to' COTj ' ) = ( 2 « -t- I ) TI,
el l'on en conclut n = o. Mais quand a varie d'une manière continue entre o et ato, le second membre de l'égalité (27) varie d'une manière continue, n ne peut changer. Donc n = o pour toute valeur de a comprise entre o el ato, et par suite l'on a
(28) \^J [Ua^it)-i-T^(a-U)]dt = ^a-hT.,
[ o < a < iu).
En appliquant la formule précédente à chacune des deux intégrales qui figurent dans l'expression de 'j/, nous trouverons enfin
t}y ^ t:— -.(oj'l^i' — vri').
Cette égalité va nous permettre de trouver le signe de <h.
Remarquons que, pour t» = oj, -]/ esl nul à cause de la relation
>94 cuvriTHi-: ix.
T,w' — (jir/ ^= — ; puis cherchons comment varie 'l quand v croît (le o à (<). On a
cette dérivée décroît constamment quand v croît de o à to; pour t' ^ Cl) elle est égale à
Or nous avons trouvé (n" 99)
et l'on voit que l'on a
— (Tt
. (eiw'+ r/)> o.
Donc -7^ est positive pour v = lo et comme c'est une fonction
décroissante dans l'inlervalle (o, co), elle est constamment positive dans cet intervalle. Il en résulte que <l croît quand v croît de o à O), et comme 'h s'annule pour c = w, on a
'il < o, quand o •< f < to.
Si nous comparons maintenant le signe de 'li et celui de (-77)»
nous voyons que, quand / croît de o à ——, l'angle 0 commence par
croître mais que sa variation totale est négative. Nous avons
trouvé d'autre part que -7- s'annule en changeant de signe pour
une valeur et une seule de l'intervalle ( o, —^ \ : soit t' cette valeur ;
la discussion peut se résumer ainsi :
t croissant de o à t' , Q va constamment en croissant; pour t^=t'
le rayon vecteur est tangent a la courbe; t croissant de t a^?
l'angle B décroît plus qu'il ne s'était accru quant t variait de o à /'. 186. Signe du rayon de coiu'bure. — On a trouvé en commen-
APPLICATIONS DIVKRSES. 9-95
<;anl (éq. \) l'égaliu'-
le second membre est égal à deux fois la dérivée prise par rapport à /•- du trinôme A/-' 4- 2B/--i-C, et d'autre part il résulte des calculs faits pour l'inversion [formules (i3),(i7) et(i i)] que l'on a en même temps
et
Dérivons par rapport à /- les deux membres de la dernière égalité
ilr- 4P V
On en déduit, en remplaçant ; par sa valeur (10) en fonction
de //,
P ~ -^JJ'*^ Pii — P^
Voyons comment varie le signe de - quand t varie de o à aoj'.
/■- va sans cesse en décroissant, A/ - -f- B ne peut s'annuler qu'une
fois; il nous suffira donc d'avoir les signes des valeurs de - pour
/ =: o et pour ^ = -.-; nous désignerons ces valeurs par— et — :
pour l = o
■i po V ip V
lu'
pour / :— — ' l
2 ' Pi /V ,\ 2p'P
Les valeurs de - et de — peuvent se simplifier si l'on se sert de la relation
,P""l p'Ul-+- p'{2Ui)
p'ih pui — p{iui)'
que l'on déduit de la formule d'addilion
y' a — p' iii ]•)'» + p'(h -t- Ui)
pu — pui ~ pil — p(lC-hUi)'
en V faisant tendre // vers ?/,. ATaide de celte relation, on obtient
(' étant compris entre o et co, p'v et p' - sont négatifs, p" - positif; donc on a déjà
Po
D'autre part, p' i - + oj' j étant positif, — est de signe contraire à
Cette quantité peut s'obtenir en substituant pi- — \- m \ dans le polynôme du second degré en pu
et Ion trouve aisément que Ion aura
P"(^+w'j<o, si V satisfait à l'inégalité
Mais on peut poser
«étant une quantité réelle comprise entre o et — (t'o//'p. io3, n" 1); l'inégalité (3o) peut alors s'écrire
PL; + w'j>j3(a-h co'),
Cl comme p(t( -t-to') croît constamment quand a croît de o à o), elle peut être remplacée par la condition
pi
pi
Il faut donc, quand on étudie le signe de la courbure, distinguer les deux cas suivants, en remarquant que (« + w') désigne l'abscisse du point le plus baut de l'ovale dans la cubique v = p it ,
Il se produit une inflexion de la figure d'équilibre quand v passe en décroissant par la valeur 2 a et il est facile de voir que l'inflexion se produit au point donné par à t = -^- En efl'et, la valeur correspondante de u est
et la valeur correspondante de la fonction p, savoir
est, d'après la définition même de «, racine de p"(a), de sorte que — est égal à zéro, dans le cas particulier ç ■s= :ia.
187. Forme de la courbe. — Nous avons supposé que c satisfait à la condition o<t'<<io et, dans l'étude de la courbure, nous avons été conduits à distinguer deux cas suivant que l'on a
r < 2a ou (' >■ 7. a.
Dans les deux cas, t croissant de o à -^-> l'arc s va constamment
en croissant, le rayon vcclcur va constamment en décroissant et les rajons extrêmes correspondent le premier à un maximum et le second à un minimum; l'angle 0 commence par croître jusqu'à une saleur /', pour laquelle le rayon vecteur est tangent à la courbe, |)uis décroît jusqu'à une valeur initiale.
Pour ce qui regarde la courbure, si ç >> 2a la courbure ;t- est
constamment positive, l'angle a correspond au sens dans lequel a* croît; c'est précisément le sens dans lequel l'arc de courbe est
décrit (piand t varie de o à ~; le rayon de courbure est compté à partir de la courbe dans le sens a -h - •
Si i'<<2rt il V a une inflexion et si r diffère peu de 2a le point d'inflexion est dans le voisinage du sommet qui correspond
to' a t =z -^.
On a alors les deux formes de la courbe, représentées par les
fig. 24 et 20, dont la première correspond à t'>>2«et la deuxième
à i'<;2«. On a représenté par un trait plus fort l'arc décrit
quand t varie de o à — » on a marqué par une grande flèche le sens
de la pression normale, et l'on a tracé aux points a et b des flèches dont le sens indique la direction de la réaction exercée par la verge. Ce sens est opposé à celui de la force extérieure qu'il faudrait appliquer pour maintenir l'équilibre (Halphejv, [). 220).
Fiî
Fi£
Sens de la pression normale. — En mettant le problème en équation nous avons supposé la pression comptée dans le sens
"v .+ -; elle est donc du coté de la convexité dans le voisinage du
rayon maximum et, s'il v a in(lc\ion, du cùlé de la concavilé dans le voisinage du rajon niinimum.
